פיזיקה קוונטית/חלקיק טעון בשדה מגנטי

ההמילטוניאן עבור חלקיק טעון, חסר ספין, בדינמיקה לא יחסותית, ובפוטנציאל סקלרי ו-וקטורי הינו:
$\ H={\frac {(P-{\frac {q}{c}}A)^{2}}{2m}}+q\phi$

נגדיר את אופרטור המהירות ביחידות של $\hbar$ :

$V_{\alpha }\equiv {\frac {i}{\hbar }}[H,Q_{\alpha }]={\frac {i}{m\hbar }}[(P-{\frac {q}{c}}A)^{2},Q_{\alpha }]={\frac {1}{2m}}(P_{\alpha }-{\frac {q}{c}}A_{\alpha })$
יחסי החילוף של איברי $\ {\vec {V}}$ המתקבלים מן ההגדרה הזו הינם: $[V_{\alpha },V_{\beta }]=i{\frac {\hbar q}{m^{2}c}}\epsilon _{\alpha ,\beta ,\gamma }B_{\gamma }$

• מציאת רמות האנרגיה (רמות לנדאו) עבור חלקיק טעון חסר ספין בשדה מגנטי הומוגני

${\vec {B}}=B{\hat {z}}$ :
נציג את H באמצעות $H={\frac {m}{2}}(V_{x}^{2}+V_{y}^{2}+V_{z}^{2})$
נגדיר $H_{xy}\equiv {\frac {m}{2}}(V_{x}^{2}+V_{y}^{2})$ $H_{z}\equiv {\frac {m}{2}}V_{z}^{2}$ , $\ H=H_{xy}+H_{z}$
מכיוון ש-$\ B_{x}=B_{y}=0$ נקבל כי $\ [V_{z},V_{x}]=[V_{z},V_{y}]=0$
מכאן נובע ש-$\ H_{xy}$ ו-$\ H_{z}$ חילופיים זה עם זה.
כיוון שכך, הערכים העצמיים של H הינם סכום האלגברי של הערכים העצמיים של האופרטורים $\ H_{xy}$ ו-$\ H_{z}$ המרכיבים אותו.
כעת נמצא את הערכים העצמיים של $\ H_{xy}$ ו-$\ H_{z}$.
לשם כך נציג את הסימון

$\ \gamma \equiv \left({\frac {\hbar |q|B}{m^{2}c}}\right)^{1/2}$,

$\ V_{x}=\gamma Q'$

$\ V_{y}=\gamma P'$
נקבל כי $\ H_{xy}={\frac {1}{2}}\left({\frac {\hbar |q|B}{mc}}\right)(P'^{2}+Q'^{2})$, $\ [P',Q']=i$ משוואות אלה זהות למשוואות אוסצילטור הרמוני קוונטי, ועל כן הערכים העצמיים של $\ H_{xy}$ יהיו $\ \left(n+{\frac {1}{2}}\right){\frac {\hbar |q|B}{m^{2}c}}$ כאשר n הינו מספר שלם אי-שלילי.
ספקטרום הערכים העצמיים של $\ H_{z}$ הינו רציף, $\ {\frac {mv^{2}}{2}}$
נקבל כי האנרגיות האפשריות במערכת הינן: $\ E_{n,V_{z}}=\left(n+{\frac {1}{2}}\right){\frac {\hbar |q|B}{m^{2}c}}+{\frac {mv^{2}}{2}}$
ערכי אנרגיה אלה נקראים רמות לנדאו (על שמו של לב לנדאו, שהיה הראשון לנסח את הפונקציות העצמיות המתאימות לערכי אנרגיה אלה). ניתן לראות כי עבור $\ V_{z}$ נתון, הספקטרום הינו בדיד כשל אוסצילטור הרמוני.

• ניוון של רמות לנדאו

מתוך פיתוח שאינו מופיע כאן כרגע, נקבל כי הניוון של רמת לנדאו בעלת n ו- $\ V_{z}$ קבועים הינו $\ {\frac {D_{x}D_{y}}{2\pi a_{m}^{2}}}$, כאשר $\ D_{x},D_{y}$ הינם אורכי צלעות מלבן שבו מוכלת המערכת (כלומר אם החלקיק אינו מוגבל במישור xy, הניוון הינו אינסופי? בנוסף, מדוע ההגדרה היא מחזורית באחד הצירים - x?), ו- $\ a_{m}=\left({\frac {\hbar c}{|q|B}}\right)^{1/2}$
ערך זה מצביע כי הניוון ברמות לנדאו שווה למספר יחידות השטף המגנטי החולפות דרך המערכת.

בביליוגרפיה: Ballentine, L. - Quantum Mechanics - a Modern Development (1998), Ch. 11