מתמטיקה תיכונית/פתרונות לספרים/מתמטיקה (5 יחידות לימוד) חלק ז' שאלון 035007/עמוד 90 סעיף 28

מעגל שמרכזו בנקודה $M(7,3)$ חותך מהישר $3x+y-4=0$ מיתר שאורכו ${\sqrt {40}}$.

על פי המשפט אנך מהמרכז למיתר במעגל חוצה את המיתר נוריד אנך אל אמצע המיתר $AB$ בנקודה $O$.

$MO$ היא המרחק מהנקודה $M$ לישר $AB$. בהסתמך על נוסחת מרחק נקודה מישר ($d=\left|{m\cdot x_{0}-y_{0}+n \over {\sqrt {m^{2}+1}}}\right|$)/

נציב את המשוואה הכללית של המיתר במכנה, בומנה את השיפוע וכן נציב את ערכי נקודת המרכז. נקבל: $d_{MO}=\left|{3*7+3-4 \over {\sqrt {3^{2}+1}}}\right|=2*{\sqrt {10}}$

נמצא את אורך מחצית המיתר באמצעות חילוק גודל המיתר בשנים, נקבל ${\frac {\sqrt {40}}{2}}={\sqrt {10}}$

צלע $MA$ היא הרדיוס במעגל הנמצא במשולש ישר זווית $\triangle MAO$. על פי משפט פיתגורס $a^{2}+b^{2}=c^{2}$ דהינו $AO^{2}+MO^{2}=MA^{2}$.

נציב את הנתונים $r^{2}=({\sqrt {10}})^{2}+(2{\sqrt {)}}^{2}=50$

נמצא עתה את משוואת המעגל על סמך נקודת המרכז $M(7,3)$ והרדיוס $r^{2}==50$ ונקבל $(x-7)^{2}+(y-3)^{2}=50$