מתמטיקה תיכונית/פתרונות לספרים/מתמטיקה (5 יחידות לימוד) חלק ז' שאלון 035007/עמוד 89 סעיף 21

מצא את משוואת המעגל שחוסם את המשולש שקודקודיו הם $A(2,6),B(4,0),C(-4,-6)$

${\begin{cases}(2-a)^{2}+(6-b)^{2}=R^{2}\\(4-a)^{2}+(0-b)^{2}=R^{2}\\(-4-a)^{2}+(-6-b)^{2}=R^{2}\end{cases}}$

${\begin{cases}(2-a)^{2}+(6-b)^{2}=R^{2}\\(4-a)^{2}+b^{2}=R^{2}\\(4+a)^{2}+(6+b)^{2}=R^{2}\\\end{cases}}$

נשווה בין שתי משוואות :

${\begin{aligned}(2-a)^{2}+(6-b)^{2}=(4-a)^{2}+b^{2}\\(2-a)^{2}+(6-b)^{2}=(4-a)^{2}+b^{2}\\4-4a+a^{2}+36-12b+b^{2}=16-8a+a^{2}+b^{2}\\4a=12b-24\\a=3b-6\\\end{aligned}}$

נשווה בין שתי משוואות נוספות :

${\begin{aligned}(2-a)^{2}+(6-b)^{2}=(4+a)^{2}+(6+b)^{2}=R^{2}\\(2-a)^{2}+(6-b)^{2}=(4+a)^{2}+(6+b)^{2}\\4-4a+a^{2}+36-12b+b^{2}=16+8a+a^{2}+36+12b+b^{2}\\-12a=12+24b\\a=-1-2b\\\end{aligned}}$

נשווה בין שתי תוצאות המשוואות:

${\begin{aligned}3b-6=a=-1-2b\\3b-6=-1-2b\\5b=5\\b=1\\a=3b-6=-1-2b=-3\\M(-3,1)\\\end{aligned}}$

נציב במשוואת המעגל בכדי למצוא את הרדיוס אתה הנקודות $A(2,6),M(-3,1)$:

${\begin{aligned}(x-a)^{2}+(y-b)^{2}=R^{2}\\(2-(-3))^{2}+(6-1)^{2}=R^{2}\\(2+3)^{2}+(6-b)^{2}=R^{2}\\5^{2}+5^{2}=R^{2}\\25+25=R^{2}\\R^{2}=50\end{aligned}}$

נמצא את המשוואה הכללית של המעגל באמצעות הצבת הרדיוס ונקודת המרכז:

${\begin{aligned}(x-a)^{2}+(y-b)^{2}=R^{2}\\(x+3)^{2}+(y-1)^{2}=25\\\end{aligned}}$