מתמטיקה תיכונית/פתרונות לספרים/מתמטיקה (5 יחידות לימוד) חלק ז' שאלון 035007/עמוד 823 סעיף 23

שאלה

שיפוע המשיק לגרף הפונקציה $y={\frac {4^{x}}{2^{x}+a}}$ בנקודה $x=2$ הוא ${\frac {32}{9}}ln2$.

1. מצא את שני הערכים האפשריים של $a$.
2. הצב בפונקציה את ה- הקטן מבין השניים שמצאת בסעיף א ומצא:
   • תחום הגדרה.
   • נקודת הקיצון.
   • תחומי העליה וירידה.
   • אסימפטוטות המקבילות לצירים.
   • שרטט סקיצה של גרף הפונקציה.

סעיף א

$y'={\frac {(4^{x}ln4)(2^{x}+a)-4^{x}(2^{x}ln2)}{(2^{x}+a)^{2}}}$

נציב $x=2$ : $y'(2)={\frac {(4^{2}ln4)(2^{2}+a)-4^{2}(2^{2}ln2)}{(2^{2}+a)^{2}}}$

נוציא גורם משותף ונפרק את הלוגריתמים, ${\frac {16[2ln2(4+a)-(2*2ln2)}{(4+a)^{2}}}$

נוציא שוב מכנה משותף, ${\frac {16*2ln2(4+a-2)}{(4+a)^{2}}}$

נשווה לערך המתקבל על פי השאלה ${\frac {32}{9}}ln2$ ונפטר מהמכנים, נקבל: $9*32ln2(a+2)=32ln2(4+a)^{2}$

נחלק ב-$32ln2$ נקבל $9(a+2)=(4+a)^{2}$

נפתח סוגריים, $9a+18=16+8a+a^{2}$

נצמצם ונכנס אברים, $a^{2}-a-2=0$

$(a+1)(a-2)=0$

פתרונות: $a=-1,2$

נציב בפונקציה את הערך הנמוך $y={\frac {4^{x}}{2^{x}-1}}$

תחום הגדרה

$2^{x}-1\neq 0$

$2^{x}\neq 1$

$2^{x}\neq 2^{0}$

נשוואה מעריכים מפני שהחזקות זהות ונקבל $x\neq 0$

נקודות קיצון

$y'={\frac {4^{x}ln4)(2^{x}-1)-4^{x}(2^{x}*ln2)}{(2^{x}-1)}}$

נשווה לאפס ונפרק את הלוגריתמים $(4^{x}*2ln2)(2^{x}-1)-4^{x}(2^{x}*ln2)=0$

נוציא גורם משותף $4^{x}*2ln2[2(2^{x}-1)-2^{x}]=0$

נחלק ב-$4^{x}*2ln2>0$ ונקבל $2(2^{x}-1)-2^{x}=0$

נפתח סוגריים, $2*2^{x}-2-2^{x}=0$

נצמצם,$2^{x}-2=0$

נעביר אגפים, $2^{x}=2$

$x=1$

$y(1)={\frac {4^{1}}{2^{1}-1}}=4$

סוג הנקודה

נגזור את הפונקציה, מאחר שהמכנה חיובי, נגזור את המונה בלבד. נו נגזור את המונה לאחר צמצום $2^{x}-2$

$y'=(2^{x}-2)=2^{x}ln2$

נציב את ערך הנקודה $y'(1)=2^{l}n2>0\Rightarrow min$

הנקודה $(1,4)min$

עליה וירידה

עליה וירידה מושפעה מנקודות הקיצון ותחום ההגדרה.

עליה: $x>1$

ירידה: $0<x<1$ או $x<0$

אסימפטוטות

אנכית

הנקודה של תחום ההגדרה היא נקודה חשודה, נאשרר אותה על ידי הצבה במכנה ובמונה, $y={\frac {4^{0}}{2^{0}-1}}={\frac {1}{1-1}}$

מאחר שהנקודה מאפסת את המכנה בלבד היא סימפטוטה

אופקית

נבדוק עבור $lim_{x}\rightarrow \infty$

נציב אינסוף ונקבל $y={\frac {4^{\infty }}{2^{\infty }-1}}={\frac {big}{little}}$ ולכן אין נקודות קיצון.

נבדוק עבור $lim_{x}\rightarrow -\infty$

נציב $2^{x}=t$ ובו נציב $lim_{x}\rightarrow -\infty$ ונקבל $t={\frac {1}{2^{\infty }}}=0$

נציב בגבול שלנו ונקבל $y={\frac {0}{0-1}}={\frac {0}{-1}}=0$