מתמטיקה תיכונית/פתרונות לספרים/מתמטיקה (5 יחידות לימוד) חלק ז' שאלון 035007/עמוד 816 תרגיל 11

מתוך ויקיספר, אוסף הספרים והמדריכים החופשי
קפיצה לניווט קפיצה לחיפוש

לפונקציה יש נקודת קיצון בנקודה

  1. מצא את ואת נקודת הקיצון של הפונקציה.
  2. מצא את שיעורי ה- של נקודת הפיתול של הפונקציה.
  3. מצא את תחומי הקעירות כלפי מעלה והקיערות כלפי מטה של הפונקציה.
  4. שרטט סקיצה של הגרף.

סעיף א[עריכה]

הנגזרת של הפונקציה היא

נשווה לאפס ונציב , נקבל

חלק ב[עריכה]

נשם לב כי הנגזרת של הוא ולכן הנגזרת המתקבלת:

נשווה לאפס

נפתח

נפרק לגורמים ונקבל

נמצא את ערך ה- :

הנקודות החשודות הן . בסעיף ב נוכיח כי הנגזרת השניה אינה מתאפסת ולכן הנקודות הן נקודות קיצון.

סעיף ב[עריכה]

נגזר את

הנגזרת של הינה

הנגזרת של היא נגזרת של כפל פונקציות ולכן הנגזרת הינה

הנגזרת של הינה אפס.

חיבור וחיסור הנגזרות נותן כי הנגזרת הסופית הינה

נשווה לאפס את הנגזרת בכדי למצוא נקודת קיצון.

נוציא ונקבל

הביטוי תמיד חיובי ולכן נפתור את

נעביר אגפים, ונחלק בשתיים,

נחלץ את ערך ה- במעריך באמצעות הלוגריתמי ונקבל,

נאשרר כי מדובר בנקודת פיתול על ידי הוכחה כי הנגזרת השלישית שונה מאפס. נגזר את

הנגזרת של הינה

הנגזרת של היא נגזרת של כפל פונקציות ולכן הנגזרת הינה

הנגזרת הסופית הינה

נוציא גורם משותף,

הביטוי תמיד חיובי ולכן נפתור את

נשווה לאפס, כבר ניתן לראות כי הביטוי שונה מאפס, למען העיקרון נפתור את התרגיל עד תומו,

התוצאה,

סעיף ג[עריכה]

נקבע את סוג הנקודות על ידי הצבה בנגזרת :

-1
y'
מינמום פיתול מקסימום y