מתמטיקה תיכונית/פתרונות לספרים/מתמטיקה (5 יחידות לימוד) חלק ז' שאלון 035007/עמוד 816 תרגיל 11

לפונקציה $y={\frac {1}{2}}e^{2x}-(e+1)e^{x}+ax$ יש נקודת קיצון בנקודה $x=1$

הנגזרת של הפונקציה היא $y'=e^{2x}-(e+1)e^{x}+a$

נשווה לאפס ונציב $x=1$ , נקבל $y'=e^{2*1}-(e+1)e^{1}+a=0$

$e^{2}-e^{2}-e+a=0$

$x=e$

נשם לב כי הנגזרת של ${\frac {1}{2}}e^{2x}$ הוא ${\frac {1}{2}}e^{2x}*2=e^{2x}$ ולכן הנגזרת המתקבלת: $y'=e^{2x}-(e+1)e^{x}+e$

נשווה לאפס $e^{2x}-(e+1)e^{x}+e=0$

נפתח $e^{2x}-e\cdot {e^{x}}-e^{x}+e$

נפרק לגורמים $e^{x}(e^{x}-e)-1(e^{x}-e)=0$ ונקבל $(e^{x}-1)(e^{x}-e)=0$

$x=0;x=1$

נמצא את ערך ה- $y$ : $y(0)={\frac {1}{2}}e^{2*0}-(e+1)e^{0}+e*0=-{\frac {1}{2}}-e$

$y(0)={\frac {1}{2}}e^{2*0}-(e+1)e^{0}+e*0=-{\frac {1}{2}}-e$

הנקודות החשודות הן $(1,-{\frac {e^{2}}{2}}),(0,-e-{\frac {1}{2}})$ . בסעיף ב נוכיח כי הנגזרת השניה אינה מתאפסת ולכן הנקודות הן נקודות קיצון.

נגזר את $y'=e^{2x}-(e+1)e^{x}+e$

הנגזרת של $y'=e^{2x}$ הינה $y''=2e^{2x}$

הנגזרת של $y'=(e+1)e^{x}$ היא נגזרת של כפל פונקציות ולכן הנגזרת הינה $y''=0*e^{x}+(e+1)e^{x}=e^{x}(e+1)$

הנגזרת של $e$ הינה אפס.

חיבור וחיסור הנגזרות נותן כי הנגזרת הסופית הינה $y''=2e^{2x}-(e+1)e^{x}$

נשווה לאפס את הנגזרת $2e^{2x}-(e+1)e^{x}=0$ בכדי למצוא נקודת קיצון.

נוציא $e^{x}$ ונקבל $e^{x}[2e^{x}-(e+1)]=0$

הביטוי $e^{x}=0$ תמיד חיובי ולכן נפתור את $2e^{x}-(e+1)=0$

נעביר אגפים, $2e^{x}=e+1$ ונחלק בשתיים, $e^{x}={\frac {e+1}{2}}$

נחלץ את ערך ה- $x$ במעריך באמצעות הלוגריתמי ונקבל, $x=ln*{\frac {e+1}{2}}=~0.62$

נאשרר כי מדובר בנקודת פיתול על ידי הוכחה כי הנגזרת השלישית שונה מאפס. נגזר את $y''=2e^{2x}-(e+1)e^{x}$

הנגזרת של $y'=2e^{2x}$ הינה $y''=4e^{2x}$

הנגזרת של $y''=-(e+1)e^{x}$ היא נגזרת של כפל פונקציות ולכן הנגזרת הינה $y'''=0*e^{x}+(e+1)e^{x}=e^{x}(e+1)$

הנגזרת הסופית הינה $y'''=4e^{2x}-(e+1)e^{x}$

נוציא גורם משותף, $y'''=e^{x}[4e^{x}-(e+1)]$

הביטוי $e^{x}=0$ תמיד חיובי ולכן נפתור את $y'''=4e^{x}-(e+1)$

נשווה לאפס, $4e^{x}=(e+1)$ כבר ניתן לראות כי הביטוי שונה מאפס, למען העיקרון נפתור את התרגיל עד תומו, $4e^{x}=(e+1)$

$e^{x}={\frac {(e+1)}{4}}$

התוצאה, $x=ln*{\frac {(e+1)}{4}}\neq 0$

נקבע את סוג הנקודות על ידי הצבה בנגזרת $y'=e^{2x}-(e+1)e^{x}+e$ :

$1.5$	$1$	$0.8$	$ln{\frac {e+1}{2}}$	$0.4$	$0$	-1
$y'=e^{2*1.5}-(e+1)e^{1.5}+e=29.84(+)$	$0$	$y'=e^{2*0.8}-(e+1)e^{0.8}+e=0.603(-)$	$0$	$y'=e^{2*0.4}-(e+1)e^{0.4}+e=-0.603(-)$	$0$	$y'=e^{-2}-(e+1)e^{-1}+e=1.485(+)$	y'
	מינמום		פיתול		מקסימום		y