מתמטיקה תיכונית/פתרונות לספרים/מתמטיקה (5 יחידות לימוד) חלק ז' שאלון 035007/עמוד 801 סעיף 9

חקור את הפונקציה $y=(8-x^{2})e^{x}$:

1. תחום הגדרה
2. נקודות קיצון
3. תחומי עליה וירידה
4. נקודות חיתוך עם הצירים.
5. גרף.

תחום הגדרה: הפונקציה מוגדרת לכל $x$

נקודות קיצון: א. הפונקציה לפנינו היא מנה של פונקציות.

$f(8-x^{2})'=-2x$

$g(e^{x})=e^{x}$

נעזר בכלל מנה של פונקציות ונקבל $-2xe^{x}+(8-x^{2})e^{x}$.

נוציא גורם משותף ונשווה לאפס, $e^{x}[-2x+(8-x^{2})]=0$.

מאחר ו-$e^{x}>0$ נחלק אותו ונקבל, $-2x+(8-x^{2})=0$

דהינו משוואה ריבועית, $x^{2}+2x-8=0$ מהצורה $(x+4)(x-2)=0$

הנקודות החשודות הינם $x_{1}=4,x_{2}=2$

ב. נאשרר כי אלו נקודות קיצון (על ידי קבלת נגזרת שנייה גדולה מאפס) ונבדוק את סוג נקודות קיצון:

נגזור את הביטוי $x^{2}+2x-8=0$ נקבל $y''=2x+2$

נציב את ערכי ה-$x$ :

$y''(-4)=2*-4+2=-6\rightarrow min$

$y''(2)=2*2+2=6\rightarrow max$

נמצא את ערכי ה-$y$ באמצעות הצבה בפונקציה $y=(8-x^{2})e^{x}$

$y(-4)=(8-16)e^{-4}={\frac {-8}{e^{4}}}$

$y(2)=(8-4)e^{2}=4e^{2}$

פתרונות: $(2,4e^{2})max,(-4,{\frac {-8}{e^{4}}})min$

תחומי עלייה וירידה: ניתן או לפתור משוואה או באמצעות הגרף.

ירידה ($y''<0$): $x<-4,x>2$

עליה (y>0): $-4<x<2$

נקודות חיתוך עם הצירים:

חיתוך עם ציר $x$: $(8-x^{2})e^{x}=0$

נחלק ב-$e^{x}$ מאחר שגדול מאפס ונקבל, $8-x^{2}=0$

נעביר אגפים, $8=x^{2}$

ונקבל $x_{1}={\sqrt {8}}\ \ \ \ x_{2}=-{\sqrt {8}}$

חיתוך עם ציר $y$: נציב $x=0$ ונקבל $y=(8-0^{2})e^{0}=8$.

פתרונות: $({\sqrt {8}},0)\ \ \ \ (-{\sqrt {8}},0),(0,8)$