חקור את הפונקציה
:
- תחום הגדרה
- נקודות קיצון
- תחומי עליה וירידה
- נקודות חיתוך עם הצירים.
- גרף.
תחום הגדרה: הפונקציה מוגדרת לכל
נקודות קיצון: א. הפונקציה לפנינו היא מנה של פונקציות.
נעזר בכלל מנה של פונקציות ונקבל
.
נוציא גורם משותף ונשווה לאפס,
.
מאחר ו-
נחלק אותו ונקבל,
דהינו משוואה ריבועית,
מהצורה
הנקודות החשודות הינם
ב. נאשרר כי אלו נקודות קיצון (על ידי קבלת נגזרת שנייה גדולה מאפס) ונבדוק את סוג נקודות קיצון:
נגזור את הביטוי
נקבל
נציב את ערכי ה-
:
![{\displaystyle y''(-4)=2*-4+2=-6\rightarrow min}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8b3796e2a1b59f78edada20a591d25e4c4c41924)
![{\displaystyle y''(2)=2*2+2=6\rightarrow max}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c135827e1397aa39f00b61cb0e429fcafc99a71b)
נמצא את ערכי ה-
באמצעות הצבה בפונקציה
![{\displaystyle y(-4)=(8-16)e^{-4}={\frac {-8}{e^{4}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9278948dff8b40e6f458ce0dcdf7815f6587170a)
![{\displaystyle y(2)=(8-4)e^{2}=4e^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2fb4966340499ae1b0b3cfa8d04c5f3db70e7cb7)
פתרונות:
תחומי עלייה וירידה: ניתן או לפתור משוואה או באמצעות הגרף.
- ירידה (
): ![{\displaystyle x<-4,x>2}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/03203a140bd82613353985f49b9da6b65dfa9ffc)
- עליה (y>0):
![{\displaystyle -4<x<2}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e98bf77fa0edf743e507ba20483accb86160213b)
נקודות חיתוך עם הצירים:
חיתוך עם ציר
:
נחלק ב-
מאחר שגדול מאפס ונקבל,
נעביר אגפים,
ונקבל
חיתוך עם ציר
:
נציב
ונקבל
.
פתרונות: