מתמטיקה תיכונית/פתרונות לספרים/מתמטיקה (5 יחידות לימוד) חלק ז' שאלון 035007/עמוד 801 סעיף 9

חקור את הפונקציה $y = (8 - x^{2}) e^{x}$ :

תחום הגדרה: הפונקציה מוגדרת לכל $x$

נקודות קיצון: א. הפונקציה לפנינו היא מנה של פונקציות.

$f (8 - x^{2})^{'} = - 2 x$

$g (e^{x}) = e^{x}$

נעזר בכלל מנה של פונקציות ונקבל $- 2 x e^{x} + (8 - x^{2}) e^{x}$ .

נוציא גורם משותף ונשווה לאפס, $e^{x} [- 2 x + (8 - x^{2})] = 0$ .

מאחר ש- $e^{x} > 0$ נחלק אותו ונקבל, $- 2 x + (8 - x^{2}) = 0$

דהינו משוואה ריבועית, $x^{2} + 2 x - 8 = 0$ מהצורה $(x + 4) (x - 2) = 0$

הנקודות החשודות הינם $x_{1} = 4, x_{2} = 2$

ב. נאשרר כי אלו נקודות קיצון (על ידי קבלת נגזרת שנייה גדולה מאפס) ונבדוק את סוג נקודות קיצון:

נגזור את הביטוי $x^{2} + 2 x - 8 = 0$ נקבל $y^{″} = 2 x + 2$

נציב את ערכי ה- $x$ :

y^{″} (- 4) = 2 * - 4 + 2 = - 6 \to m i n

y^{″} (2) = 2 * 2 + 2 = 6 \to m a x

נמצא את ערכי ה- $y$ באמצעות הצבה בפונקציה $y = (8 - x^{2}) e^{x}$

y (- 4) = (8 - 16) e^{- 4} = \frac{- 8}{e^{4}}

y (2) = (8 - 4) e^{2} = 4 e^{2}

פתרונות: $(2, 4 e^{2}) m a x, (- 4, \frac{- 8}{e^{4}}) m i n$

תחומי עלייה וירידה: ניתן או לפתור משוואה או באמצעות הגרף.

ירידה (

y^{″} < 0

):

x < - 4, x > 2

עליה (y>0): $- 4 < x < 2$

נקודות חיתוך עם הצירים:

חיתוך עם ציר $x$ : $(8 - x^{2}) e^{x} = 0$

נחלק ב- $e^{x}$ מאחר שגדול מאפס ונקבל, $8 - x^{2} = 0$

נעביר אגפים, $8 = x^{2}$

ונקבל $x_{1} = \sqrt{8} x_{2} = - \sqrt{8}$

חיתוך עם ציר $y$ : נציב $x = 0$ ונקבל $y = (8 - 0^{2}) e^{0} = 8$ .

פתרונות: $(\sqrt{8}, 0) (- \sqrt{8}, 0), (0, 8)$