מתמטיקה תיכונית/פתרונות לספרים/מתמטיקה (5 יחידות לימוד) חלק ז' שאלון 035007/עמוד 102 סעיף 23

מצא את הזווית החדה שבין הישר$2x-y+11=0$ למעגל $(x-1)^{2}+(y-3)^{2}=65$.

נמצא את נקודות החיתוך של הישר עם המעגל באמצעות הצבה:

${\begin{cases}(x-1)^{2}+(y-3)^{2}=65\\2x+11=y\\\end{cases}}$

${\begin{aligned}(x-1)^{2}+(2x+11-3)^{2}=65\\(x-1)^{2}+(2x+8)^{2}=65\\x^{2}-2x+1+4x^{2}+32x+64=65\\5x^{2}+30x=0\\x(x+6)=0\\x_{1}=0,x_{2}=-6\\y_{1}=2*0+11=11,y_{2}=2*-6+11=-1\\P(0,11),O(-6,-1)\end{aligned}}$

נמצא את שיפוע האנך $PM$ הנמצא בין הנקודה $M(1,3)$ לנקודה $P(0,11)$

${\begin{aligned}M_{pm}={\frac {3-11}{1-0}}=-8\\\end{aligned}}$

נמצא את שיפוע המשיק העובר דרך הנקודה $P(0,11)$ ומאונך לאנך $PM$:

${\begin{aligned}m_{1}*m_{pm}=-1\\m_{1}*-8=-1\\m_{1}={\frac {1}{8}}\\\end{aligned}}$

נמצא את שיפוע הישר $2x+11=y$ על פי המקדם ($m$) של $x$. במילים אחרות שיפוע הישר הוא $2$.

נציב בנוסחה של זווית בין ישירים:

$tan\alpha ={\frac {|m_{2}-m_{1}|}{1+m_{2}*m_{1}}}={\frac {\frac {15}{8}}{\frac {5}{4}}}={\frac {15}{8}}*{\frac {4}{5}}={\frac {3}{2}}$

נחלץ את הזווית באמצעות לחיצה על Arctan ונגלה כי גודל הזווית שווה $56.3099$