מתמטיקה תיכונית/פתרונות לספרים/מתמטיקה (5 יחידות לימוד) חלק ו' שאלון 035006/עמוד 96 סעיף 83

$(\frac{1}{1}+\frac{1}{1})(\frac{1}{2}+\frac{1}{4})(\frac{1}{3}+\frac{1}{9})\ast \cdots \ast (\frac{1}{n}+\frac{1}{n^2})=\frac{n+1}{n!}$

בדיקה נכונות הטענה עבור $n=1$

$\begin{array}{c}L:\frac{1}{n}+\frac{1}{n^2}=\frac{1}{1}+\frac{1}{1^2}=2\\ R:\frac{n+1}{n!}=\frac{1+1}{1!}=\frac{1+1}{1}=2\\ 2=2\\ \end{array}$

נניח כי הטענה נכונה עבור $n=k$ טבעי

$(\frac{1}{1}+\frac{1}{1})(\frac{1}{2}+\frac{1}{4})(\frac{1}{3}+\frac{1}{9})\ast \cdots \ast (\frac{1}{k}+\frac{1}{k^2})=\frac{k+1}{k!}$

נוכיח כי הטענה נכונה עבור n=k+1

$\begin{array}{cc}& (\frac{1}{1}+\frac{1}{1})(\frac{1}{2}+\frac{1}{4})(\frac{1}{3}+\frac{1}{9})\ast \cdots \ast (\frac{1}{k}+\frac{1}{k^2})\ast (\frac{1}{k+1}+\frac{1}{(k+1{)}^2})=\frac{k+1+1}{(k+1)!}\\ & \underset{=\frac{k+1}{k!}}{\underbrace{(\frac{1}{1}+\frac{1}{1})(\frac{1}{2}+\frac{1}{4})(\frac{1}{3}+\frac{1}{9})\ast \cdots \ast (\frac{1}{k}+\frac{1}{k^2})}}\ast (\frac{1}{k+1}+\frac{1}{(k+1{)}^2})=\frac{k+1+1}{(k+1)!}\\ & \frac{k+1}{k!}\ast (\frac{1}{k+1}+\frac{1}{(k+1{)}^2})=\frac{k+2}{(k+1)!}\\ & \frac{k+1}{k!}\ast (\frac{1}{k+1}+\frac{1}{(k+1{)}^2})=\frac{k+2}{(k+1)!}\\ & \frac{k+1}{k!}\ast (\frac{k+1+1}{(k+1{)}^2})=\frac{k+2}{(k+1)!}\\ & \frac{k+1}{k!}\ast \frac{k+2}{(k+1{)}^2}=\frac{k+2}{(k+1)!}\\ & \frac{1}{k!}\ast \frac{k+2}{(k+1)}=\frac{k+2}{(k+1)!}\\ & k!=1\ast 2\ast 3\ast \cdots \ast k\\ & (k+1)!=1\ast 2\ast 3\ast \cdots \ast k\ast (k+1)\\ & \frac{k+2}{(k+1)!}=\frac{k+2}{(k+1)!}\\ \end{array}$

האידוקציה נכון עבור כל $n$ טבעי החל מ$n=1$ על פי 3 שלבי האינדוקציה.