מתמטיקה תיכונית/פתרונות לספרים/מתמטיקה (5 יחידות לימוד) חלק ו' שאלון 035006/עמוד 95 סעיף 75

$(1+\frac{3}{1})(1+\frac{5}{4})(1+\frac{7}{9})+\cdots +(1+\frac{2n+1}{n^2}=(n+1{)}^2$

בדיקה נכונות הטענה עבור $n=1$

$\begin{array}{cc}& L:(1+\frac{2n+1}{n^2}=1+\frac{2\ast 1+1}{1^2}=1+\frac{3}{1}=4\\ & R:(n+1{)}^2=(1+1{)}^2=4\\ & 4=4\end{array}$

נניח כי הטענה נכונה עבור $n=k$ טבעי

$(1+\frac{3}{1})(1+\frac{5}{4})(1+\frac{7}{9})+\cdots +(1+\frac{2k+1}{k^2}=(k+1{)}^2$

נוכיח כי הטענה נכונה עבור n=k+1

$\begin{array}{cc}& \underset{=(k+1{)}^2}{\underbrace{(1+\frac{3}{1})(1+\frac{5}{4})(1+\frac{7}{9})+\cdots +(1+\frac{2k+1}{k^2})}}\ast (1+\frac{2k+3}{(k+1{)}^2}=(k+2{)}^2\\ & (k+1{)}^2\ast (1+\frac{2k+3}{(k+1{)}^2})=(k+2{)}^2\\ & (k+1{)}^2\ast \frac{(k+1{)}^2+2k+3}{(k+1{)}^2}=(k+2{)}^2\\ & k^2+2k+1+2k+3=k^2+4k+4\\ & 0=0\end{array}$

הטענה נכונה עבור כל n טבעי, ע"פ שלושת שלבי האינדוקציה.