מתמטיקה תיכונית/פתרונות לספרים/מתמטיקה (5 יחידות לימוד) חלק ו' שאלון 035006/עמוד 92 סעיף 25

$1 * 2 * 3 + 4 * 5 * 6 + \dots + (3 n - 2) (3 n - 1) 3 n = \frac{3}{4} n (n + 1) (3 n - 2) (3 n + 1)$

בדיקה נכונות הטענה עבור $n = 1$

$\begin{matrix} L : + (3 n - 2) (3 n - 1) 3 n \to 1 * 2 * 3 = 6 \\ R : \frac{3}{4} n (n + 1) (3 n - 2) (3 n + 1) \to \frac{3 * 2 * 4}{4} = 6 \\ 6 = 6 \sqrt \end{matrix}$

נניח כי הטענה נכונה עבור $n = k$ טבעי

$1 * 2 * 3 + 4 * 5 * 6 + \dots + (3 k - 2) (3 k - 1) 3 k = \frac{3}{4} k (k + 1) (3 k - 2) (3 k + 1)$

נוכיח כי הטענה נכונה עבור n=k+1

$\begin{matrix} \underset{= \frac{3}{4} k (k + 1) (3 k - 2) (3 k + 1)}{\underset{⏟}{1 * 2 * 3 + 4 * 5 * 6 + \dots + (3 n - 2) (3 n - 1) 3 n}} + (3 k + 1) (3 k + 2) (3 k + 3) = \frac{3}{4} (k + 1) (k + 2) (3 k + 1) (3 k + 4) / * \frac{4}{(k + 1) (3 k + 1)} \\ 3 k (3 k - 2) + 12 (3 k + 2) = 3 (k + 2) (3 k + 4) \\ 9 k^{2} - 6 k + 36 k + 24 = 3 (3 k^{2} + 4 k + 6 k + 8) \\ 9 k^{2} + 30 k + 24 = 9 K^{2} + 30 k + 24 \\ 0 = 0 \end{matrix}$

הטענה נכונה עבור כל n טבעי, ע"פ שלושת שלבי האינדוקציה.

בדיקה נכונות הטענה עבור n=1

נניח כי הטענה נכונה עבור n=k טבעי

נוכיח כי הטענה נכונה עבור n=k+1

בדיקה נכונות הטענה עבור $n = 1$

נניח כי הטענה נכונה עבור $n = k$ טבעי