מתמטיקה תיכונית/פתרונות לספרים/מתמטיקה (5 יחידות לימוד) חלק ו' שאלון 035006/עמוד 654 סעיף 1

טוען את הטאבים...

תרגיל

נתונה הפונקציה $cos2x-7sinx-4$ בתחום $0\leq x\leq 2\pi$ .

מצא את נקודות החיתוך של הפונקציה עם הצירים
מצא את נקודות הקיצון של הפונקציה
מצא תחומי עלייה וירידה של הפונקציה
שרטט סקיצה של הגרף
מצא את שיעורי ה- $x$ של נקודות החיתוך של $f'(x)$ עם ציר ה- $x$
מצא את התחום בו $f(x)$ חיובית וגם $f'(x)$ שלילית

נושא

חקירת פונקציה טריגונומטרית, משוואות טריגונומטריות

פתרונות

נקודות חיתוך עם ציר ה- $x$

$y=cos0-7sin0-4$

$y=1-0-4=-3$

נקודות הינם $(0,-3)$

נקודות חיתוך עם ציר ה- $y$

$cos2x-7sinx-4=0$

על פי הזהות $cos2x=1-2sin^{2}x$ נקבל $1-2sin^{2}x-7sinx-4=0$

נצמצם, נכפיל ונקבל $2sin^{2}x+7sinx+3=0$

נציב $sinx=t$ ונקבל $2t^{2}+7t+3=0$

לאחר הצבה במשוואת השורש הריבועי נקבל $t_{1}=-0.5$ וגם $t_{2}=-3$

נציב $sinx=-0.5$ נקבל $x_{1}=-{\frac {\pi }{6}}+2\pi k$ וגם $x_{2}={\frac {7\pi }{6}}+2\pi k$

נמיר את $x_{1}=-{\frac {\pi }{6}}+2\pi k$ לזווית החיובית (כלומר במקום לרשום $-30^{\circ }$ נחשב $330^{\circ }$ על ידי ${\frac {330}{180}}={\frac {11}{6}}$ ) דהיינו הפתרון $x_{1}={\frac {11\pi }{6}}+2\pi k$

נציב $sinx=-3$ אין פתרון.

לפיכך נקודות חיתוך עם ציר ה- $y$ הינם $({\frac {11\pi }{6}},0)({\frac {7\pi }{6}},0)$

נגזור את הפונקציה $y=cos2x-7sinx-4$ ונקבל $y'=-sin2x-7cosx$

נשווה לאפס: $0=-sin2x-7cosx$

על פי הזהות $sin2x=2sinx*cosx$ נקבל $-2sinx*cosx-7cosx$

נוציא גורם משותף: $0=cosx(-2sinx-7)$

נשווה לאפס כל גורם: $cosx=0$ וגם $-2sinx-7=$

נפתור: $cosx=0$ ונקבל $x_{1}={\frac {\pi }{2}}+2*\pi k$ וגם $x_{2}={\frac {-\pi }{2}}+2*\pi k$

נמיר את הפתרון $x_{2}={\frac {-\pi }{2}}+2*\pi k$ לזווית חיובית דהינו $x_{2}={\frac {3\pi }{2}}+2*\pi k$

נפתור: $-2sinx-7=0$ ונקבל $sinx=-{\frac {7}{2}}$ אין נקודת קיצון.

נציב בטבלה

$2\pi$	300	${\frac {3\pi }{2}}$	$180$	${\frac {\pi }{2}}$	$45$	$0$	$x$
קצה	-	נקודת קיצון/פיתול	+	נקודה קיצון/פיתול	-	קצה	y'
קצה	יורדת	מקסימום	עולה	נקודת מינמום	יורדת	קצה	y