מתמטיקה תיכונית/פתרונות לספרים/מתמטיקה (5 יחידות לימוד) חלק ו' שאלון 035006/עמוד 307 תרגיל 10

נתון ($\bullet$) :
${\begin{aligned}&BC=AB=AB=5_{cm}\\&AD\perp \triangle ABC\\&\angle DCA=35^{\circ }\\\end{aligned}}$

צ"ל : ${\begin{aligned}&AD=?\\&\angle DEA=?\\\end{aligned}}$

הוכחה :
${\begin{aligned}&\triangle ADC\\&\bullet BC=AB=AB=5_{cm}\\&\bullet \angle DCA=35^{\circ }\\&\bullet AD\perp =triangleABC\\&\downarrow \\&\angle DAC=90^{\circ }\\&\downarrow \\&\tan \angle C={\frac {AD}{AC}}\\&\tan 35^{\circ }={\frac {AD}{5}}\\&AD=3.5_{cm}\blacksquare \\\end{aligned}}$

בנית עזר : הורדת שני אנכים ממישור $\ DBC$ וממישור $\ ABC$ לנקודה $\ E$ הנמצאת על ישר החיתוך $\ BC$.
במשולש $\ ABC$, $\ AE$ הוא גובה (משולש שווה צלעות).
במשולש $\ DCB$, $\ DE$ הוא גובה כיוון שכאשר היטלים של משופעים היוצאים מאותה נקודה ונמצאים על אותו מישורים שווים $\ AB=AC$, אז גם המשופעים שווים.

לכן, $\ BE=CE={\frac {CB}{2}}={\frac {5}{2}}=2.5_{cm}$.

$\triangle AEB$ משולש שווה צלעות ולכן גובהו : $\ h=AE={\frac {\sqrt {3}}{2}}*a={\frac {\sqrt {3}}{2}}*5$

${\begin{aligned}&\angle DEA=?\\&\tan \angle DEA={\frac {AD}{AE}}\\&\tan \angle DEA={\frac {3.5}{{\frac {\sqrt {3}}{2}}*5}}\\&\angle DEA=38.95^{\circ }\\&\blacksquare \\\end{aligned}}$