מתמטיקה תיכונית/פתרונות לספרים/מתמטיקה (5 יחידות לימוד) חלק ו' שאלון 035006/עמוד 184 סעיף 54

נתון: $1-ta{n}^{2}a=t$ בטא בעזרת $t$ את $co{s}^{2}a-si{n}^{2}a$

זהות יסוד

$1+t{g}^2\alpha =2-t$

ניצב את הזהות $1+t{g}^2\alpha =\frac{1}{co{s}^2\alpha }$

נקבל $1+t{g}^2\alpha =\frac{1}{co{s}^2\alpha }=2-t\Rightarrow co{s}^2\alpha =\frac{1}{2-t}\Rightarrow si{n}^2\alpha =1-co{s}^2\alpha =1-\frac{1}{2-t}$

לכן $co{s}^2\alpha -si{n}^2\alpha =\frac{1}{2-t}-(1-\frac{1}{2-t})=\frac{2}{2-t}-1=\frac{2-(2-t)}{2-t}=\frac{t}{2-t}$

זהות של זווית כפולה

נעזר בזהויות:

• $co{s}^{2}a-si{n}^{2}a=cos2a$
• $cos2a=\frac{1-ta{n}^{2}a}{1+ta{n}^{2}a}$

$1-ta{n}^{2}a=t1+ta{n}^{2}a=1+1-t=2-t$

$co{s}^{2}a-si{n}^{2}a=\frac{t}{2-t}$