מתמטיקה תיכונית/פתרונות לספרים/מתמטיקה (5 יחידות לימוד) חלק ו' שאלון 035006/עמוד 15 סעיף 4

שאלה

שני הולכי רגל יצאו באותו זמן משני מקומות המרוחקים 28 ק"מ זה מזה, והלכו אחד לקראת השני. הם נפגשו אחרי 4 שעות. הולך א עובר 8 ק"מ בזמן הקטן בשעה מהזמן שהולך ב עובר 9 ק"מ. מהן מהירויות ההולכים?

דרך א'

נתונים :

1. המרחק בין A-B הוא 28 ק"מ.
2. הרוכבים עברו מרחק של 28 ק"מ בזמן של 4 שעות.
3. השוואה - הולך רגל א' עבר 8 ק"מ בזמן הקטן בשעה מרוכב ב' שעבר רק 9 ק"מ.

טבלה א'

	זמן (שעות)	מהירות (קמ"ש)	דרך (ק"מ)
רוכב א'	4	$V_{1}$	$S=4*V_{1}$
רוכב ב'	4	$V_{2}$	$S=4*V_{2}$
סה"כ			28 ק"מ

משוואה א' : $V_{1}*4+V_{2}*4=28$

טבלה ב'

	זמן (שעות)	מהירות (קמ"ש)	דרך (ק"מ)
רוכב א'	X	$V_{1}$	8
רוכב ב'	X+1	$V_{2}$	9

משוואות  :

1. $V_{1}*X=8\Rightarrow v_{1}={\frac {8}{x}}$
2. $V_{2}(x+1)=9\Rightarrow V_{2}={\frac {9}{x+1}}$

נציב את נתוני המשוואות במשוואה א' ונקבל :
${\frac {8}{x}}*4+{\frac {9}{x+1}}*4=28$
${\frac {32}{x}}+{\frac {36}{x+1}}=28$
$32(x+1)+36x=28x(x+1)$
$8(x+1)+9x=7x(x+1)$
$8x+8+9x=7x^{2}+7x$
$7x^{2}-10x-8=0$
$10\pm {\sqrt {10^{2}+4*7*8}}{2*7}$
$10\pm {\sqrt {18}}{14}$
$X_{1}=2$
$X_{2}=-$

$V_{1}={\frac {8}{4}}=2$
$v_{2}={\frac {9}{3}}=3$

דרך ב'

טבלה א'

הפעם, בטבלה נבטא את המהירות ואותה נציב בטבלה השנייה.

	זמן (שעות)	מהירות (קמ"ש)	דרך (ק"מ)
רוכב א'	4	$V_{1}={\frac {4}{x}}$	X
רוכב ב'	4	$V_{2}={\frac {28-x}{4}}$	28-X
סה"כ			28 ק"מ

טבלה ב'

	זמן (שעות)	מהירות (קמ"ש)	דרך (ק"מ)
רוכב א'	$t_{1}={\frac {8}{\frac {x}{4}}}={\frac {32}{x}}$	$V_{1}={\frac {x}{4}}$	8
רוכב ב'	$t_{2}={\frac {9}{\frac {28-x}{4}}}={\frac {36}{28-x}}$	$V_{2}={\frac {28-x}{4}}$	9

כיוון שלקח לו שעה פחות, משוואות הזמן יהיו שוואות כשנוסיף לרוכב א' שעה : ${\frac {32}{x}}+1={\frac {36}{28-x}}$
${\frac {32+x}{x}}={\frac {36}{28-x}}$
$(32+x)(28-x)=36x$
$896-32x+28x-x^{2}-36x=0$
$-x^{2}-40x+896=0$
$x_{1,2}={\frac {40\pm {\sqrt {40^{2}+4*896}}}{-2}}$ $X_{1}=-$ $X_{2}=16$

נציב במהירות ונקבל :

1. $V_{1}={\frac {16}{4}}=4$
2. $V_{2}={\frac {28-16}{4}}=3$