מתמטיקה תיכונית/פתרונות לספרים/מתמטיקה (5 יחידות לימוד) חלק ו' שאלון 035006/עמוד 126 סעיף 11

מתוך ויקיספר, אוסף הספרים והמדריכים החופשי
קפיצה לניווט קפיצה לחיפוש
  • תרגיל קשה.

א[עריכה]

בדיקה נכונות הטענה עבור [עריכה]

נניח כי הטענה נכונה עבור טבעי[עריכה]

נוכיח כי הטענה נכונה עבור n=k+1[עריכה]


האינדוקציה נכונה על פי 3 שלבי האינדוקציה.

ב - מצאת סכום[עריכה]

הסדרה : היא סדרת ההמשך של הסדרה ולכן, אפשר לקרוא לה :

הסדרה המלא :



לפיכך, אם נפחית את הסדרה פחות הסדרה הראשונה () נוכל למצוא את הסכום של הסדרה השנייה.
הדבר דומה לאם הייתה לנו את הסדרה : והיינו רוצים את סכום הסדרה החל ממספר 4, היינו מורידים את הסכום של כל הסדרה, פחות כל הסדרה הראשונה : 1+2+3 ומקבלים את הסדרה השנייה.

נרשום את הנאמר בשפת המתמטיקה :

אנו יודעים (על פי תרגיל א') שסכום הסדרה הראשונה שווה ל :

אנו רוצים למצוא את סכום כל הסדרה כולל (), נמצא אותו באמצעות הצבת האיבר האחרון של הסדרה בתבנית הסכום של הסדרה

(). 

שכן, מדובר באותה סדרה ולפיכך, אופן חישוב הסכום זהה. הפעולה אולי נשמעת קשה, אך, היא פשוטה למדי, כל שעלינו לעשות הוא להציב 2n במקום 1n (n).

סכום הסדרה הכוללת הוא :.

נציב את סכומי הסדרות :

ועתה נשאר רק לפתור :

ג[עריכה]

בדיקה נכונות הטענה עבור [עריכה]

נניח כי הטענה נכונה עבור טבעי[עריכה]

נוכיח כי הטענה נכונה עבור n=k+1[עריכה]


האינדוקציה נכונה על פי 3 שלבי האינדוקציה.