מתמטיקה תיכונית/פתרונות לספרים/מתמטיקה (5 יחידות לימוד) חלק ו' שאלון 035006/עמוד 126 סעיף 11

• תרגיל קשה.

א

$1\ast 2+2\ast 3+3\ast 4+\cdots +n(n+1)=\frac{n(n+1)(n+2)}{3}$

בדיקה נכונות הטענה עבור $n=1$

$\begin{array}{cc}& L:n(n+1)=1\ast 2=2\\ & R:\frac{n(n+1)(n+2)}{3}=\frac{6}{3}=2\\ & 2=2\\ \end{array}$

נניח כי הטענה נכונה עבור $n=k$ טבעי

$1\ast 2+2\ast 3+3\ast 4+\cdots +k(k+1)=\frac{k(k+1)(k+2)}{3}$

נוכיח כי הטענה נכונה עבור n=k+1

$\begin{array}{cc}& \underset{=\frac{k(k+1)(k+2)}{3}}{\underbrace{1\ast 2+2\ast 3+3\ast 4+\cdots +k(k+1)}}+(k+1)(k+2)=\frac{(k+1)(k+2)(k+3)}{3}\\ & \frac{k(k+1)(k+2)}{3}+(k+1)(k+2)=\frac{(k+1)(k+2)(k+3)}{3}\\ & k(k+1)(k+2)+3(k+1)(k+2)=(k+1)(k+2)(k+3)/:(k+1)(k+2)\\ & k+3=k+3\\ \end{array}$

האינדוקציה נכונה על פי 3 שלבי האינדוקציה.

ב - מצאת סכום

הסדרה : $(n+1)(n+2)+(n+2)(n+3)+(n+3)(n+4)+\cdots +2n(2n+1)$ היא סדרת ההמשך של הסדרה $1\ast 2+2\ast 3+3\ast 4+\cdots +n(n+1)=\frac{n(n+1)(n+2)}{3}$ ולכן, אפשר לקרוא לה : $a_{2n}=(n+1)(n+2)+(n+2)(n+3)+(n+3)(n+4)+\cdots +2n(2n+1)$

הסדרה המלא  : $\begin{array}{cc}& an=1\ast 2+2\ast 3+3\ast 4+\cdots +n(n+1)+(n+1)(n+2)+(n+2)(n+3)+(n+3)(n+4)+\cdots +2n(2n+1)\\ & a_{1n}=1\ast 2+2\ast 3+3\ast 4+\cdots +n(n+1)=\frac{n(n+1)(n+2)}{3}\\ & a_{2n}=(n+1)(n+2)+(n+2)(n+3)+(n+3)(n+4)+\cdots +2n(2n+1)\\ \end{array}$

לפיכך, אם נפחית את הסדרה פחות הסדרה הראשונה ($S_{an}-S_{1an}=S_{2an}$) נוכל למצוא את הסכום של הסדרה השנייה.
הדבר דומה לאם הייתה לנו את הסדרה : $1+2+3+4+5+6+7=?$ והיינו רוצים את סכום הסדרה החל ממספר 4, היינו מורידים את הסכום של כל הסדרה, פחות כל הסדרה הראשונה : 1+2+3 ומקבלים את הסדרה השנייה.

נרשום את הנאמר בשפת המתמטיקה : $an-a_{1n}=1\ast 2+2\ast 3+3\ast 4+\cdots +n(n+1)+(n+1)(n+2)+(n+2)(n+3)+(n+3)(n+4)+\cdots +2n(2n+1)-1\ast 2+2\ast 3+3\ast 4+\cdots +n(n+1)$

אנו יודעים (על פי תרגיל א') שסכום הסדרה הראשונה שווה ל : $1\ast 2+2\ast 3+3\ast 4+\cdots +n(n+1)=\frac{n(n+1)(n+2)}{3}$

אנו רוצים למצוא את סכום כל הסדרה כולל ($an$), נמצא אותו באמצעות הצבת האיבר האחרון של הסדרה $an$ בתבנית הסכום של הסדרה $a_{1}n$

($\frac{n(n+1)(n+2)}{3}$). 

שכן, מדובר באותה סדרה ולפיכך, אופן חישוב הסכום זהה. הפעולה אולי נשמעת קשה, אך, היא פשוטה למדי, כל שעלינו לעשות הוא להציב 2n במקום 1n (n).

סכום הסדרה הכוללת הוא :$S_{2an}=\frac{2n(2n+1)(2n+2)}{3}$.

נציב את סכומי הסדרות : $\frac{2n(2n+1)(2n+2)}{3}-\frac{n(n+1)(n+2)}{3}$

ועתה נשאר רק לפתור :
$\begin{array}{cc}& \frac{2n(2n+1)(2n+2)}{3}-\frac{n(n+1)(n+2)}{3}\\ & \frac{2n(2n+1)(2n+2)-n(n+1)(n+2)}{3}\\ & \frac{2n(2n+1)2(n+1)-n(n+1)(n+2)}{3}\\ & \frac{[n(n+1)][4(2n+1)-(n+2)]}{3}\\ & \frac{n(n+1)(8n+4-n-2)}{3}\\ & \frac{n(n+1)(7n-2)}{3}\\ \end{array}$

ג

$(n+1)(n+2)+(n+2)(n+3)+(n+3)(n+4)+\cdots +2n(2n+1)=\frac{n(n+1)(7n-2)}{3}$

בדיקה נכונות הטענה עבור $n=1$

$\begin{array}{cc}& L:2n(2n+1)=2\ast 1(2\ast 1+1)\to (n+1)(n+2)=6\\ & R:\frac{n(n+1)(7n-2)}{3}=6\\ & 6=6\\ \end{array}$

נניח כי הטענה נכונה עבור $n=k$ טבעי

$(k+1)(k+2)+(k+2)(k+3)+(k+3)(k+4)+\cdots +2k(2k+1)=\frac{k(k+1)(7k+2)}{3}$

נוכיח כי הטענה נכונה עבור n=k+1

$\begin{array}{cc}& \underset{=\frac{k(k+1)(7k-2)}{3}-(k+10(k+2)}{\underbrace{(k+2)(k+3)+(k+3)(k+4)+\cdots +2k(2k+1)}}+(2k+1)(2k+2)+(2k+2)(2k+3)=\frac{(k+1)(k+2)(7k+9)}{3}\\ & \frac{k(k+1)(7k-2)}{3}-(k+1)(k+2)+(2k+1)(2k+2)+(2k+2)(2k+3)=\frac{(k+1)(k+2)(7k+9)}{3}\\ & k(k+1)(7k+2)-3(k+1)(k+2)+6(2k+1)(k+1)+6(k+1)(2k+3)=(k+1)(k+2)(7k+9)/:(k+1)\\ & k(7k+2)-3(k+2)+6(2k+1)+6(2k+3)=(k+2)(7k+9)\\ & 7k^2+2k-3k-6+12k+6+12k+18=7k^2+9k+14k+18\\ & 7k^2+23k+18=7k^2+23k+18\\ & 0=0\\ & \end{array}$

האינדוקציה נכונה על פי 3 שלבי האינדוקציה.