מתמטיקה תיכונית/פתרונות לספרים/מתמטיקה (5 יחידות לימוד) חלק ו' שאלון 035006/עמוד 125 סעיף 8

א

נתון : $\ an=n(3n-1)$

הוכח :
${\begin{aligned}a_{1}+a_{2}+\cdots +a_{n}=n^{2}(n+1)\\\downarrow \\an=n(3n-1)\\\downarrow \\a_{1}+a_{2}+\cdots +n(3n-1)=n^{2}(n+1)\\\end{aligned}}$

בדיקה נכונות הטענה עבור $\ n=1$

${\begin{aligned}&L:n(3n-1)=1*(3-1)=2\\&R:n^{2}(n+1)=1^{2}(1+1)=2\\&2=2\\\end{aligned}}$

נניח כי הטענה נכונה עבור $\ n=k$ טבעי

$a_{1}+a_{2}+\cdots +k(3k-1)=k^{2}(k+1)$

נוכיח כי הטענה נכונה עבור n=k+1

${\begin{aligned}&\underbrace {a_{1}+a_{2}+\cdots +k(3k-1)} _{=k^{2}(k+1)}+(k+1)(3k+2)=(k+1)^{2}(k+2)\\&k^{2}(k+1)+(k+1)(3k+2)=(k+1)^{2}(k+2)\\&k^{3}+k^{2}+3k^{2}+5k+2=(k^{2}+2k+1)(k+2)\\&k^{3}+4k^{2}+5k+2=k^{3}+2k^{2}+2k^{2}+4k+k+2\\&k^{3}+4k^{2}+5k+2=k^{3}+4k^{2}+5k+2\\&0=0\\\end{aligned}}$

הטענה נכונה לכל $\ n$ טבעי על פי שלושת שלבי האינדוקציה.

ב - מצאת סכום

מציאת הסכום לסדרה: $21*62+22*65+\cdots +50*149$ שהינה סדרת ההמשך של הסדרה הקודמת :$\ a_{1}+a_{2}+\cdots +n(3n-1)=n^{2}(n+1)$. וסכום הסדרה הוא : $\ n^{2}(n+1)$.

איך יודעים זאת?
האיבר המייצג את הסדרה הראשונה הוא : $\ a_{n}=n(3n-1)$. אם נציב את המספר העשרים ואחת בסדרה נוכל לגלות כי הוא אותו איבר שבסדרה השנייה : $\ a_{21}=21(3*21-1)=21*62$

מציאת הסכום
הסכום אותו אנו רוצים לגלות : $\ S_{5}0-S_{2}0$ עתה, נחשב את סכום הסדרה מהאיבר הראשון ועד האיבר החמישים ($\ n=50$). נציב בסכום הסדרה ונגלה : ${\begin{aligned}&50^{2}(50+1)=12,7500\\\end{aligned}}$

עתה נגלה את סכום הסדרה מהאיבר הראשון ועד האיבר העשירים ($\ n=20$) : ${\begin{aligned}&20^{2}(20+1)=8,400\\\end{aligned}}$

נמצא את ההפרש בין שתי הסדרות : $\ 127,500-8,400=119,100$