מתמטיקה תיכונית/פתרונות לספרים/מתמטיקה (5 יחידות לימוד) חלק ו' שאלון 035006/עמוד 125 סעיף 6

א

$1^{2}-2^{2}+3^{2}-4^{2}+\cdots -(2n)^{2}+(2n+1)^{2}=(n+1)(2n+1)$

בדיקה נכונות הטענה עבור $\ n=1$

${\begin{aligned}&L:-(2n)^{2}+(2n+1)^{2}=-2^{2}+3^{2}\rightarrow 1^{2}-2^{2}+3^{2}=6\\&R:(n+1)(2n+1)=2*3=6\\&6=6\\\end{aligned}}$

נניח כי הטענה נכונה עבור $\ n=k$ טבעי

$1^{2}-2^{2}+3^{2}-4^{2}+\cdots -(2k)^{2}+(2k+1)^{2}=(k+1)(2k+1)$

נוכיח כי הטענה נכונה עבור n=k+1

${\begin{aligned}&\underbrace {1^{2}-2^{2}+3^{2}-4^{2}+\cdots -(2k)^{2}+(2k+1)^{2}} _{=(k+1)(2k+1)}-(2k+2)+(2k+3)=(k+2)(2k+3)\\&(k+1)(2k+1)-(2k+2)+(2k+3)=(k+2)(2k+3)\\&2k^{2}+3k+1-4k^{2}-8k-4+4k^{2}+12k+9=2k^{2}+3k+4k+6\\&2k^{2}+2k^{2}+7k+6=2k^{2}+7k+6\\&0=0\\\end{aligned}}$

האינדוקציה נכונה על פי 3 שלבי האינדוקציה.

ב-מצאת סכום

$\ 17^{2}-18^{2}+19^{2}+\cdots +81^{2}$

הסדרה הנ"ל, היא למעשה, חלק מהסדרה בסעיף א'. בכדי למצוא את סכומה נאלץ למצוא את סכום $\ a_{n}$ (כלל האיברים) פחות כל האברים הנמצאים לפני האיבר $\ 17^{2}$. ראשית, נמצא את סכום כלל האברים. תחילה נמצא את מיקומו ($\ n$) של המספר $81^{2}$ :

${\begin{aligned}&81^{2}=(2n+1)^{2}\\&81=2n+1\\&2n=80\\&n=40\\\end{aligned}}$

נחשב את סכום האיברי הסדרה עד האיבר הארבעים ע"י הצבתו בסכום הסדרה :

${\begin{aligned}&1^{2}+2^{2}+3^{2}-4^{2}+\cdots -(2n)^{2}+(2n+1)^{2}={\color {blue}(n+1)(2n+1)}\\&\color {blue}\downarrow \\&(40+1)(2*40+1)=3321\\\end{aligned}}$

עתה, נמצא את מיקומו של המספר 17^2 ($\ n_{17^{2}}$) באמצעות השוואתו אל האיבר האחרון בסדרה : ${\begin{aligned}&17^{2}=(2n+1)^{2}\\&17=2n+1\\&2n=16\\&n=8\\\end{aligned}}$

גילנו כי $\ 17^{2}$ הוא האיבר השמיני. עתה נמצא את סכום האיברים מהאיבר הראשון ועד ה-$\ 17^{2}$ (כולל 17) :

${\begin{aligned}&1^{2}+2^{2}+3^{2}-4^{2}+\cdots -(2n)^{2}+(2n+1)^{2}={\color {blue}(n+1)(2n+1)}\\&\color {blue}\downarrow \\&(8+1)(2*8+1)=153\\\end{aligned}}$

כיוון שכללנו את $\ 17^{2}$ נאלץ בהמשך להוסיף אותו אל הסכום.

נמצא את סכום הסדרה המבוקשת על ידי הפחתת הסדרה $sn_{1-8}$ ונוסיף את סכום המספר $\ 17^{2}$ אותו הפחתנו לפני.

החישוב : $\ 3321-153+17^{2}=3457$