מתמטיקה תיכונית/פתרונות לספרים/מתמטיקה (5 יחידות לימוד) חלק ו' שאלון 035006/עמוד 107 סעיף 72

$\mathbb {Z}$ - מספר שלם.

הוכחה ראשונה

${\frac {1^{0}+5^{1}+5^{2}+\cdots +5^{3n-1}}{31}}=\mathbb {Z}$

בדיקה נכונות הטענה עבור $\ n=1$

${\begin{aligned}&{\frac {5^{3n-1}}{31}}=\mathbb {Z} \\&{\frac {5^{3-1}}{31}}\rightarrow 1^{0}+5^{1}+5^{2}=\mathbb {Z} \\&1=\mathbb {z} \surd \\\end{aligned}}$

נניח כי הטענה נכונה עבור $\ n=k$ טבעי

${\frac {1^{0}+5^{1}+5^{2}+\cdots +5^{3k-1}}{31}}=\mathbb {Z}$

נוכיח כי הטענה נכונה עבור n=k+1

${\begin{aligned}&{\frac {1^{0}+5^{1}+5^{2}+\cdots +5^{3k-1}+5^{3k}+5^{3k+1}+5^{3k+2}}{31}}=\mathbb {Z} \\&\underbrace {\frac {1^{0}+5^{1}+5^{2}+\cdots +5^{3k-1}}{31}} _{=\mathbb {Z} }+{\frac {5^{3k}+5^{3k+1}+5^{3k+2}}{31}}\\&{\frac {5^{3k}(1+5+5^{2})}{31}}\\&5^{3}k=\mathbb {Z} \\\end{aligned}}$

1. הטענה הראשונה נכונה ע"פ ההנחה.
2. $\ -5^{3}k$ $\ K$ הוא מספר טבעי ולכן כל מספר בחזקת מספר טבעי יהיה שלם.
   

הטענה נכונה עבור כל n טבעי, ע"פ שלושת שלבי האינדוקציה.