מתמטיקה תיכונית/פתרונות לספרים/מתמטיקה (5 יחידות לימוד) חלק ו' שאלון 035006/עמוד 107 סעיף 56

$\mathbb {Z}$ - מספר שלם.

הוכחה ראשונה

${\frac {7^{n}+5^{n}-4^{n}-2^{n}}{6}}=\mathbb {Z}$

בדיקה נכונות הטענה עבור $\ n=1$

${\begin{aligned}&{\frac {7^{n}+5^{n}-4^{n}-2^{n}}{6}}=\mathbb {Z} \\&{\frac {7+5-4-2}{6}}=\mathbb {Z} \\&1=\mathbb {z} \surd \\\end{aligned}}$

נניח כי הטענה נכונה עבור $\ n=k$ טבעי

${\frac {7^{k}+5^{k}-4^{k}-2^{k}}{6}}=\mathbb {Z}$

נוכיח כי הטענה נכונה עבור n=k+1

${\begin{aligned}&{\frac {7^{k+1}+5^{k+1}-4^{k+1}-2^{k+1}}{6}}=\mathbb {Z} \\&{\frac {7^{k}*7+5^{k}*5-4^{k}*4-2^{k}*2}{6}}=\mathbb {Z} \\&{\frac {7^{k}*(2+5)+5^{k}*(3+2)-4^{k}*(2+2)-2^{k}*2}{6}}=\mathbb {Z} \\&{\frac {7^{k}*2+5^{k}*2-4^{k}*2-2^{k}*2}{6}}+{\frac {7^{k}*5+5^{k}*3-4^{k}*2}{6}}=\mathbb {Z} \\&{\frac {2(7^{k}+5^{k}-4^{k}-2^{k})}{6}}+{\frac {7^{k}*5+5^{k}*3-4^{k}*2}{6}}=\mathbb {Z} \\&\mathbb {Z} +{\frac {7^{k}*5+5^{k}*3-4^{k}*2}{6}}=\mathbb {Z} \\&\downarrow \\&p={\frac {7^{k}*5+5^{k}*3-4^{k}*2}{6}}=\mathbb {Z} \\\end{aligned}}$

1. הטענה הראשונה נכונה ע"פ ההנחה.
2. ביצוע הוכחה נוספת להוכחה כי $\ P$ הוא שלם.

הוכחה שנייה

בדיקה נכונות הטענה עבור $\ k=1$

${\begin{aligned}&{\frac {7^{k}*5+5^{k}*3-4^{k}*2}{6}}=\mathbb {Z} \\&{\frac {7*5+5*3-4*2}{6}}=\mathbb {Z} \\&7=\mathbb {z} \surd \\\end{aligned}}$

נניח כי הטענה נכונה עבור $\ k=t$ טבעי

${\frac {7^{t}*5+5^{t}*3-4^{t}*2}{6}}=\mathbb {Z}$

נוכיח כי הטענה נכונה עבור k=t+1

${\begin{aligned}&{\frac {7^{t+1}*5+5^{t+1}*3-4^{t+1}*2}{6}}=\mathbb {Z} \\&{\frac {7^{t}*7*5+5^{t}*5*3-4^{t}*4*2}{6}}=\mathbb {Z} \\&{\frac {7^{t}*5*(3+4)+5^{t}*3*(4+1)-4^{t}*4*2}{6}}=\mathbb {Z} \\&{\frac {4(7^{t}*5+5^{t}*3-4^{t}*2)}{6}}+{\frac {7^{t}*3*5+5^{t}*3}{6}}=\mathbb {Z} \\&4*\mathbb {Z} +{\frac {3(7^{t}*5+5^{t})}{6}}=\mathbb {Z} \\&{\frac {7^{t}*5+5^{t}}{2}}=\mathbb {Z} \\&\mathbb {Z} =\mathbb {Z} \\\end{aligned}}$

1. הטענה השנייה נכונה ע"פ ההנחה.
2. הטענה השלישית נכונה כיוון:
   • $\ 7^{t}*5$ הבוא מספר אי זוגי כיוון שמספר אי זוגי כפול מספר אי זוגי, הוא מספר אי זוגי, הדבר נכון הן לשבעה בחזקה והן להכפלה בגורם מספר 5.
   • $\ 5^{t}$ מאותה טענה, גם הוא מספר אי זוגי.
   • סכום של שני מספרים אי זוגיים, הוא מספר זוגי.
   • מספר זוגי, חלקי מספר זוגי, שווה מספר זוגי