מתמטיקה תיכונית/פתרונות לספרים/מתמטיקה (5 יחידות לימוד) חלק ו' שאלון 035006/עמוד 105 סעיף 4

$\mathbb{Z}$ - מספר שלם.

$\frac{n^3-4n}{3}=\mathbb{Z}$

בדיקה נכונות הטענה עבור $n=1$

$\begin{array}{cc}& \frac{n^3-4n}{3}=\mathbb{Z}\\ & \frac{1^3-4}{3}=\mathbb{Z}\\ & -1=\mathbb{Z}\surd \\ \end{array}$

נניח כי הטענה נכונה עבור $n=k$ טבעי

$\frac{k^3-4k}{3}=\mathbb{Z}$

נוכיח כי הטענה נכונה עבור n=k+1

$\begin{array}{cc}& \frac{(k+1{)}^3-4(k+1)}{3}=\mathbb{Z}\\ & \frac{k^3+3k^2+3k+1-4k-4}{3}=\mathbb{Z}\\ & \frac{k^3-4k}{3}+\frac{3k^2+3k}{3}+\frac{3}{3}=\mathbb{Z}\\ & \mathbb{Z}+\frac{3(k^2+k)}{3}+\mathbb{Z}=\mathbb{Z}\\ & k^2+k=\mathbb{Z}\\ \end{array}$

1. הטענה הראשונה נכונה ע"פ ההנחה.
2. הטענה השנייה נכונה כיוון ש-$K$ הוא מספר טבעי, כלומר שלם וחיובי.

הטענה נכונה עבור כל n טבעי, ע"פ שלושת שלבי האינדוקציה.