מתמטיקה תיכונית/פתרונות לספרים/מתמטיקה (5 יחידות לימוד) חלק ו' שאלון 035006/עמוד 103 סעיף 3

$(2 n + 2) + (2 n + 4) + (2 n + 6) + \dots + (6 n) = 2 n (4 n + 1)$

בדיקה נכונות הטענה עבור $n = 1$

$\begin{matrix} L : (6 n) = 6 \to (2 + 2) (2 + 4) = 10 \\ R : 2 n (4 n + 1) = 2 (4 + 1) = 10 \\ 10 = 10 \end{matrix}$

נניח כי הטענה נכונה עבור $n = k$ טבעי

$(2 k + 2) + (2 k + 4) + (2 k + 6) + \dots + (6 k) = 2 k (4 k + 1)$

נוכיח כי הטענה נכונה עבור n=k+1

$\begin{matrix} \underset{= 2 k (4 k + 1) - (2 k + 2)}{\underset{⏟}{(2 k + 4) + (2 k + 6) + \dots + (6 k)}} + (6 k + 2) + (6 k + 4) + (6 k + 6) = (2 k + 2) (4 k + 5) \\ 2 k (4 k + 1) - (2 k + 2) + (6 k + 2) + (6 k + 4) + (6 k + 6) = (2 k + 2) (4 k + 5) \\ 8 k^{2} + 2 k - 2 k - 2 + 18 k + 12 = 8 k^{2} + 18 k + 10 \\ 8 k^{2} + 18 k + 10 = 8 k^{2} + 18 k + 10 \\ 0 = 0 \end{matrix}$

הטענה נכונה עבור כל n טבעי, ע"פ שלושת שלבי האינדוקציה.

בדיקה נכונות הטענה עבור n=1

נניח כי הטענה נכונה עבור n=k טבעי

נוכיח כי הטענה נכונה עבור n=k+1

בדיקה נכונות הטענה עבור $n = 1$

נניח כי הטענה נכונה עבור $n = k$ טבעי