1 2 − 2 2 + 3 2 − 4 2 + ⋯ + ( 2 n − 1 ) 2 − ( 2 n ) 2 = − n ( 2 n + 1 ) {\displaystyle 1^{2}-2^{2}+3^{2}-4^{2}+\cdots +(2n-1)^{2}-(2n)^{2}=-n(2n+1)}
L : ( 2 n − 1 ) 2 − ( 2 n ) 2 = ( 2 − 1 ) 2 − ( 2 ) 2 = 1 2 − 2 2 → 1 − 4 = − 3 R : − n ( 2 n + 1 ) = − ( 2 + 1 ) = − 3 − 3 = − 3 {\displaystyle {\begin{aligned}&L:(2n-1)^{2}-(2n)^{2}=(2-1)^{2}-(2)^{2}=1^{2}-2^{2}\rightarrow 1-4=-3\\&R:-n(2n+1)=-(2+1)=-3\\&-3=-3\\\end{aligned}}}
1 2 − 2 2 + 3 2 − 4 2 + ⋯ + ( 2 k − 1 ) 2 − ( 2 k ) 2 = − k ( 2 k + 1 ) {\displaystyle 1^{2}-2^{2}+3^{2}-4^{2}+\cdots +(2k-1)^{2}-(2k)^{2}=-k(2k+1)}
1 2 − 2 2 + 3 2 − 4 2 + ⋯ + ( 2 k − 1 ) 2 − ( 2 k ) 2 ⏟ = − k ( 2 k + 1 ) + ( 2 k + 1 ) 2 − ( 2 k + 2 ) 2 = − ( k + 1 ) ( 2 k + 3 ) − k ( 2 k + 1 ) + ( 2 k + 1 ) 2 − ( 2 k + 2 ) 2 = − ( k + 1 ) ( 2 k + 3 ) − 2 k 2 − k + 4 k 2 + 4 k + 1 − 4 k 2 − 8 k − 4 = − 2 k 2 − 5 k − 3 − 2 k 2 − 5 k − 3 = − 2 k 2 − 5 k − 3 0 = 0 {\displaystyle {\begin{aligned}&\underbrace {1^{2}-2^{2}+3^{2}-4^{2}+\cdots +(2k-1)^{2}-(2k)^{2}} _{=-k(2k+1)}+(2k+1)^{2}-(2k+2)^{2}=-(k+1)(2k+3)\\&-k(2k+1)+(2k+1)^{2}-(2k+2)^{2}=-(k+1)(2k+3)\\&-2k^{2}-k+4k^{2}+4k+1-4k^{2}-8k-4=-2k^{2}-5k-3\\&-2k^{2}-5k-3=-2k^{2}-5k-3\\&0=0\\\end{aligned}}}
הטענה נכונה עבור כל n טבעי, ע"פ שלושת שלבי האינדוקציה.
טבעי
