מתמטיקה תיכונית/פתרונות לספרים/מתמטיקה (5 יחידות לימוד) חלק ו' שאלון 035006/עמוד 100 סעיף 23

$2-8+14-20+26-32+\cdots ={\frac {1}{2}}[(-1)^{n+1}(6n-1)-1]$

נוסחאת האינדוקציה

האינדוקציה היא עם סמנים מתחלפים ולכן למציאת $\ d$ אין אנו מתייחסים לסימני פלוס/מינוס. בסוף מציאת $\ a_{n}$ נוסיף את הביטוי $\ (-1)^{n+1}$

${\begin{aligned}&a_{1}=2&d=6\\&a_{n}=a_{1}+(n-1)d\\&\downarrow \\&a_{n}=2+(n-1)6\\&a_{n}=2+6n-n\\&a_{n}=6n-4\\&\downarrow \\&(-1)^{n+1}(6n-4)\\\end{aligned}}$

האינדוקציה

$2-8+14-20+26-32+\cdots +(-1)^{n+1}(6n-4)={\frac {1}{2}}[(-1)^{n+1}(6n-1)-1]$

בדיקה נכונות הטענה עבור $\ n=1$

${\begin{aligned}&L:(-1)^{n+1}(6n-4)=(-1)^{2}(6-4)=2\\&R:{\frac {1}{2}}[(-1)^{n+1}(6n-1)-1]={\frac {1}{2}}[(-1)^{2}(6-1)-1]={\frac {1}{2}}*4=2\\&2=2\\\end{aligned}}$

נניח כי הטענה נכונה עבור $\ n=k$ טבעי

$2-8+14-20+26-32+\cdots +(-1)^{k+1}(6k-4)={\frac {1}{2}}[(-1)^{k+1}(6k-1)-1]$

נוכיח כי הטענה נכונה עבור n=k+1

${\begin{aligned}&\underbrace {2-8+14-20+26-32+\cdots +(-1)^{k+1}(6k-4)} _{={\frac {1}{2}}[(-1)^{k+1}(6k-1)-1]}+(-1)^{k+2}*[6(k+1)-4]={\frac {1}{2}}[(-1)^{k+2}*(6k+5)-1]\\&{\frac {1}{2}}[(-1)^{k+1}(6k-1)-1]+(-1)^{k+2}*[6(k+1)-4]={\frac {1}{2}}[(-1)^{k+2}*(6k+5)-1]\\&{\frac {1}{2}}[(-1)^{k+1}(6k-1)-1]+(-1)^{k+2}*(6k+2)={\frac {1}{2}}[(-1)^{k+2}*(6k+5)-1]\\&(-1)^{k+1}(6k-1)-1+2(-1)^{k+2}*(6k+2)=(-1)^{k+2}*(6k+5)-1\\&-(-1)^{k+2}(6k-1)+2(-1)^{k+2}*(6k+2)=(-1)^{k+2}*(6k+5)\\&-(6k-1)+2(6k+2)=(6k+5)\\&-6k+1+12k+4=6k+5\\&0=0\\\end{aligned}}$

הטענה נכונה עבור כל n טבעי, ע"פ שלושת שלבי האינדוקציה.