מתמטיקה תיכונית/פתרונות לספרים/מתמטיקה (5 יחידות לימוד) חלק ו' שאלון 035006/עמוד 100 סעיף 23

$2-8+14-20+26-32+\cdots =\frac{1}{2}[(-1{)}^{n+1}(6n-1)-1]$

נוסחאת האינדוקציה

האינדוקציה היא עם סמנים מתחלפים ולכן למציאת $d$ אין אנו מתייחסים לסימני פלוס/מינוס. בסוף מציאת $a_n$ נוסיף את הביטוי $(-1{)}^{n+1}$

$\begin{array}{ccc}& a_1=2& d=6\\ & a_n=a_1+(n-1)d\\ & \downarrow \\ & a_n=2+(n-1)6\\ & a_n=2+6n-n\\ & a_n=6n-4\\ & \downarrow \\ & (-1{)}^{n+1}(6n-4)\\ \end{array}$

האינדוקציה

$2-8+14-20+26-32+\cdots +(-1{)}^{n+1}(6n-4)=\frac{1}{2}[(-1{)}^{n+1}(6n-1)-1]$

בדיקה נכונות הטענה עבור $n=1$

$\begin{array}{cc}& L:(-1{)}^{n+1}(6n-4)=(-1{)}^2(6-4)=2\\ & R:\frac{1}{2}[(-1{)}^{n+1}(6n-1)-1]=\frac{1}{2}[(-1{)}^2(6-1)-1]=\frac{1}{2}\ast 4=2\\ & 2=2\\ \end{array}$

נניח כי הטענה נכונה עבור $n=k$ טבעי

$2-8+14-20+26-32+\cdots +(-1{)}^{k+1}(6k-4)=\frac{1}{2}[(-1{)}^{k+1}(6k-1)-1]$

נוכיח כי הטענה נכונה עבור n=k+1

$\begin{array}{cc}& \underset{=\frac{1}{2}[(-1{)}^{k+1}(6k-1)-1]}{\underbrace{2-8+14-20+26-32+\cdots +(-1{)}^{k+1}(6k-4)}}+(-1{)}^{k+2}\ast [6(k+1)-4]=\frac{1}{2}[(-1{)}^{k+2}\ast (6k+5)-1]\\ & \frac{1}{2}[(-1{)}^{k+1}(6k-1)-1]+(-1{)}^{k+2}\ast [6(k+1)-4]=\frac{1}{2}[(-1{)}^{k+2}\ast (6k+5)-1]\\ & \frac{1}{2}[(-1{)}^{k+1}(6k-1)-1]+(-1{)}^{k+2}\ast (6k+2)=\frac{1}{2}[(-1{)}^{k+2}\ast (6k+5)-1]\\ & (-1{)}^{k+1}(6k-1)-1+2(-1{)}^{k+2}\ast (6k+2)=(-1{)}^{k+2}\ast (6k+5)-1\\ & -(-1{)}^{k+2}(6k-1)+2(-1{)}^{k+2}\ast (6k+2)=(-1{)}^{k+2}\ast (6k+5)\\ & -(6k-1)+2(6k+2)=(6k+5)\\ & -6k+1+12k+4=6k+5\\ & 0=0\\ \end{array}$

הטענה נכונה עבור כל n טבעי, ע"פ שלושת שלבי האינדוקציה.