מתמטיקה תיכונית/פתרונות לספרים/מתמטיקה (5 יחידות לימוד) חלק ב'-2 שאלון 035806/עמוד 102 סעיף 1

נתונה הפונקציה $f(x)={\frac {x^{2}+5}{x^{2}+x+3}}$

1. מצא את תחום ההגדרה של הפונקציה
2. מצא את נקודות החיתוך עם הצירים
3. מצא את נקודות הקיצון
4. מצא את תחומי העליה והירידה
5. מצא את האסימפטוטות של הפונקציה המקבילות לצירים
6. מצא את שיעורי נקודת החיתוך של הפונקציה עם האסימפטוטה המקבילה לציר ה-X
7. שרטט גרף
8. נתונה הפונקציה $g(x)$ המקיימת $g(x)=bf(x)-3$ ידוע שהמקסימום המוחלט של $g(x)$ הוא 5
   • מצא את B
   • מצא את המינימום המוחלט של $g(x)$

$x^{2}+x+3\neq 0$ לפיכך תחום ההגדרה הוא לכל X.

נקודות החיתוך עם ציר ה-X: $0={\frac {x^{2}+5}{x^{2}+x+3}}$ $x^{2}+5=0$ אין נקודת חיתוך מפני שלא ניתן להוציא שורש ממינוס.

נקודת החיתוך עם ציר ה-Y:$f(x)={\frac {0^{2}+5}{0^{2}+0+3}}$ נקודת החיתוך $0,{\frac {5}{3}}$

נגזור נגזרת על פי ${\frac {f(x)'*g(x)-g(x)'*f(x)}{g(x)^{2}}}$ נקבל כי הנגזרת הינה ${\frac {2x(x^{2}+x+3)-(2x+1)(x^{2}+5)}{(x^{2}+x+2)^{2}}}$ נפתח ונצמצם ${\frac {x^{2}-4x-5}{(x^{2}+x+2)^{2}}}$ נשווה לאפס $(x+1)(x-5)=0$ נקבל כי ערכי ה-X של נקודות הקיצון הינם $-1$ וגם $5$ נמצא את ערכי ה-Y של נקודות הקיצון באמצעות הצבתם במשוואת הפונקציה $f(x)={\frac {x^{2}+5}{x^{2}+x+3}}$, נבנה טבלה ונקבל $(-1,2)max,(5,{\frac {30}{38}})min$

6	5	4	0	-1	-2	X
+	0	-	-	0	+	Y'
טקסט התא	טקסט התא	טקסט התא	טקסט התא	טקסט התא	טקסט התא	Y

עליה: $-1<x;x>5$

ירידיה: $-1<x<5$ אסימפטוטות של X: אין

אסימפטוטה Y: מאחר שהמונים זהים אזהי האסימפטוטה הינה 1

נקודת החיתוך של האסימפטוטה עם Y : נציב במשוואה את Y=1 $1={\frac {x^{2}+5}{x^{2}+x+3}}$ $x^{2}+x+3=x^{2}+5$ $x+3=5$ $x=2$

ח. נציב את ערך המקסימום של הפונקציה $f(x)$ על פי הפתרון בסעיף ג' (דהינו ערך ה-Y של נקודת הקיצון המקסימלי, לחילופין 2) בנגזרת GX ונקבל $g(x)'=b*2-3$ נשווה לחמש $2b-3=5$ ונקבל כי $b=4$