מתמטיקה תיכונית/פתרונות לספרים/מתמטיקה (4 ו-5 יחידות לימוד) חלק א' שאלונים 035804 ו-035806/עמוד 116 סעיף 22

תרגיל	${\begin{aligned}{\begin{cases}&x^{2}+y^{2}-5(x-y)=36\\&xy=20\\\end{cases}}\\\end{aligned}}$
טכיקה	כפל מקוצר : ${\begin{aligned}&y^{2}+x^{2}=(y-x)^{2}+2xy=(y+x)^{2}-2xy\end{aligned}}$ פתרון משוואה ריבועית באמצעות סימון
פתרון	${\begin{aligned}&{\begin{cases}&x^{2}+y^{2}-5(x-y)=36\\&xy=20\\\end{cases}}\\&\Rightarrow y^{2}+x^{2}=(y-x)^{2}+2xy\\&(y-x)^{2}+40\\&(x-y)^{2}-5(x-y)+40-36=0\\&(x-y)^{2}-5(x-y)+4=0\\\end{aligned}}$
	נסמן $\ t=(x-y)$ ונקבל : ${\begin{aligned}&(x-y)^{2}-5(x-y)+4=0\\&t^{2}-5t+4=0\\&{\frac {5\pm {\sqrt {(-5)^{2}-4*1*4}}}{2}}\\&{\frac {5\pm {\sqrt {25-16}}}{2}}\\&{\frac {5\pm {\sqrt {9}}}{2}}\\&t_{1,2}={\frac {5\pm 3}{2}}\\&{\begin{cases}&t_{1}={\frac {5+3}{2}}=4\\&t_{2}={\frac {5-3}{2}}=1\\\end{cases}}\\\end{aligned}}$ שמו לב, מדובר בשני פתרונות אפשריים, לכן, אין אנו מציבים את הפתרונות זה בזה!
	נעזר במשוואה השניה ונבודד את אחד הנעלמים : ${\begin{aligned}&xy=20\\&y={\frac {20}{x}}\\\end{aligned}}$ נציב במשוואת הסימון ($\ t$) : ${\begin{aligned}&t=x-y\\&t=x-{\frac {20}{x}}\\\end{aligned}}$
	נציב במשוואת הפתרון הראשונה ($\ t_{1}$) : ${\begin{aligned}&t_{1}=4\\&x-{\frac {20}{x}}=4\\&x^{2}-20=4x\\&x^{2}-4x-20=0\\&{\frac {4\pm {\sqrt {16+4*20}}}{2}}\\&{\frac {4\pm {\sqrt {96}}}{2}}\\&{\frac {4\pm {\sqrt {16*6}}}{2}}\\&{\frac {4\pm 4{\sqrt {6}}}{2}}\\&x_{1,2}=2\pm 2{\sqrt {6}}\\&{\begin{cases}&x_{1}=2+2{\sqrt {6}}\\&x_{2}=2-2{\sqrt {6}}\\\end{cases}}\\\end{aligned}}$ נמצא את $\ y$ : ${\begin{aligned}&x-y=4\\&{\begin{cases}&y_{1}=2+2{\sqrt {6}}-4=-2+2{\sqrt {6}}\\&y_{2}=2-2{\sqrt {6}}-4=-2-2{\sqrt {6}}\\\end{cases}}\\\end{aligned}}$ הנקודות :$(2+2{\sqrt {6}},-2+2{\sqrt {6}})$, ($2-2{\sqrt {6}},-2-2{\sqrt {6}}$)	נציב במשוואת הפתרון השניה ($\ t_{2}$) : ${\begin{aligned}&t_{2}=1\\&x-{\frac {20}{x}}=1\\&x^{2}-20=x\\&x^{2}-x-20=0\\&(x+4)(x-5)=0\\&{\begin{cases}&x_{1}=-4\\&x_{2}=5\\\end{cases}}\\\end{aligned}}$ נמצא את $\ y$ : ${\begin{aligned}&x-y=1\\&{\begin{cases}&y_{1}=-4-1=-5\\&y_{2}=5-1=4\\\end{cases}}\\\end{aligned}}$ הנקודות : $\ (-4,-5)$ , $\ (5,4)$
פתרונות	$\ (-4,-5)$ , $\ (5,4)$, $(2+2{\sqrt {6}},-2+2{\sqrt {6}})$, ($2-2{\sqrt {6}},-2-2{\sqrt {6}}$)