מתמטיקה תיכונית/פתרונות לספרים/מתמטיקה (5 יחידות לימוד) חלק ז' שאלון 035007/עמוד 94 סעיף 10

מצא לאילו ערכי $k$ המשוואה $x^{2}+y^{2}-(2k-8)x-(2k-4)y+2=0$ הבאה מייצגת: מעגל, נקודה בודדת (וכן מצא אותה) וקבוצה ריקה.

בכדי שנוכל לחקור את המשוואה עלינו להמירה את המשוואה הכללית של המעגל

שלב א': נסדר את המשוואה על פי המשוואה הכללית של המעגל, ${\begin{aligned}x^{2}-(2k-8)x+y^{2}-(2k-4)y=2\\\end{aligned}}$

שלב ב': נוסיף ונחסיר איברים על מנת שהמשוואה תוכל להכנס לסוגרים $x^{2}-(2k-8)x+(k-4)^{2}-(k-4)^{2}+y^{2}-(2k-4)y+(k-2)^{2}-(k-2)^{2}=2$

למי שמתקשה לדעת איזה פרמטר יש לעלות בשנייה יכולה להעזר בנוסחה הכפל המקוצר לפיה $(a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}$. במילים אחרות, $2ab=-(2k-8)$. מאחר שאנו יודעים את מקדם $x^{2}$ (אחד), נציבו $2b=-(2k-8)$ ונוכל לגלות את $b$.

שלב ג': נכניס לסוגרים $(x-(k-4))^{2}-(y-(k-2))^{2}=-2+(k-4)^{2}+(k-2)^{2}$

שלב ד': נמצא מתי המשוואה מציגה נקודה בודדת:

${\begin{aligned}-2+(k-4)^{2}+(k-2)^{2}=0\\-2+k^{2}-8k+16+k^{2}-4k+4=0\\2k^{2}-12k+18=0\\k^{2}-6k+9=0\\(k-3)^{2}=0\\k=3\\\end{aligned}}$

נמצא את הנקודה באמצעות הצבה במשוואת המעגל:

${\begin{aligned}(x-(k-4))^{2}-(y-(k-2))^{2}=-2+(k-4)^{2}+(k-2)^{2}\\(x-(3-4))^{2}-(y-(3-2))^{2}=-2+(3-4)^{2}+(3-2)^{2}\\(x+1)^{2}-(y-1)^{2}=-2+1+1\\(x+1)^{2}-(y-1)^{2}=0\\\end{aligned}}$

מאחר ששני הביטוים בחזקת שתים ניתן להשוואת כל אחד מהם לאפס כלומר $(x+1)^{2}=0$ וגם $-(y-1)^{2}=0$. פתרון כל אחת מהמשוואות נותן את ערכי הנקודה הבודדת $(-1,1)$

שלב ה': נמצא מתי $k$ מעגל ומתי קבוצה ריקה.

מאחר ש$(k-3)^{2}>0$ תמיד גדול מאפס (מפני שהאגף הימיני בריבוע), נוכל לטעון כי עבור כל $k$ פרט כאשר $k\neq 3$

מאותה סיבה לעולם המשוואה תהיה קטנה מאפס ($(k-3)^{2}<0$).