מתמטיקה תיכונית/מתמטיקה לבגרות/שאלון ה/אלגברה/הקדמה

מה זה אלגברה?

באלגברה, אנחנו מחליפים את המספרים הפשוטים שבהם השתמשנו עד עכשיו, במשתנים (אותיות).

ביטוי אלגברי יכול להיות מורכב ממספרים, משתנים ופעולות אריתמטיות למשל:

$x+3\,$

$y^{2}+2x-3\,$

$z^{7}+a(b+x^{3})+42/y-\pi \,$

בספר זה אנו נלמד לבצע פעולות שונות על ביטויים אלגבריים.

לפניכם תזכורת של חוקים והגדרות מתמטיות. מומלץ לקרוא ולהבין.

חוקים והגדרות

בעזרת האלגברה ניתן לנסח בצורה כללית את חוקי המתמטיקה, ולהגדיר מושגים כלליים.

קומוטטיביות (חוק החילוף)

הן החיבור והן הכפל מקיימים את תכונת הקומוטטיביות. פירוש הדבר הוא שכאשר מחברים או מכפילים שני מספרים, אין חשיבות לשאלה מי הראשון ומי השני. כלומר, מתקיים:

• $\!\,a+b=b+a$.
• $\!\,a\times b=b\times a$.

אסוציאטיביות (חוק הקיבוץ)

הן החיבור והן הכפל מקיימים את תכונת האסוציאטיביות. פירוש הדבר הוא, עבור כל אחת מהפעולות, שאין חשיבות לסדר הפעלתן כאשר הן היחידות מסוגן וניתן לקבץ אותן בסוגריים בלי שהדבר ישפיע על התוצאה. כלומר, מתקיים:

• $\ (a+b)+c=a+(b+c)$ ולכן ניתן לכתוב פשוט $\ a+b+c$.
• $a\cdot (b\cdot c)=(a\cdot b)\cdot c$ ולכן ניתן לכתוב פשוט $a\cdot b\cdot c$.

דיסטריבוטיביות (חוק הפילוג)

החוק הקושר את פעולות החיבור והכפל הוא חוק הפילוג (החוק הדיסטריבוטיבי), הקובע שלכל שלושה מספרים $\ a,b,c$ מתקיים ש $a\cdot (b+c)=a\cdot b+a\cdot c$.

רשימת חוקים כללית

• חוק החילוף בחיבור: (בחיבור אין חשיבות לסדר המחוברים)

$a+b=b+a\,$

• הגדרה: מספר נגדי - מספר ועוד המספר הנגדי שלו ייתנו סכום של 0. (המינוס של המספר)

$a+(-a)=0\,$

• הגדרה: פעולת החיסור היא בעצם חיבור של המספר הנגדי.

$a-b=a+(-b)\,$

• חוק החילוף בכפל: (בכפל אין חשיבות לסדר הכופלים)

$a\cdot b=b\cdot a\,$

• הגדרה: מספר הופכי - מספר כפול המספר ההופכי שלו ייתנו 1. (אחד חלקי המספר)

$a\cdot (1/a)=1\,$

• הגדרה: פעולת החילוק היא בעצם כפל במספר ההופכי.

${a \over b}=a\left({1 \over b}\right)\,$

• פעולת החיבור היא אסוציאטיבית: $(a+b)+c=a+(b+c)\,$
• פעולת הכפל היא אסוציאטיבית: $(ab)c=a(bc)\,$
• חוק הפילוג: $c(a+b)=ca+cb\,$
• טרנזיטיביות: אם $a=b\,$ וגם $b=c\,$, אזי $a=c\,$
• רפלקטיביות: $a=a\,$
• סימטריה: אם $a=b\,$ אזי $b=a\,$
• אם $a=b\,$ וגם $c=d\,$ אזי $a+c=b+d\,$
• אם $a=b\,$ אזי $a+c=b+c\,$ עבור כל c .
• אם $a=b\,$ וגם $c=d\,$ אזי $ac=bd\,$
• אם $a=b\,$ אזי $ac=bc\,$ עבור כל c
• אם שני סמלים (אותיות) זהים אזי ניתן להחליף אחד בשני.
• אם $a>b\,$ וגם $b>c\,$ אזי $a>c\,$
• אם $a>b\,$ אזי $a+c>b+c\,$ עבור כל c.
• אם $a>b\,$ וגם $c>0\,$ אזי $ac>bc\,$
• אם $a>b\,$ וגם $c<0\,$ אזי $ac<bc\,$