מתמטיקה תיכונית/מתמטיקה לבגרות/פתרונות מבחני בגרות/אינטרני/קיץ ב, תשס"ד/305807/תרגיל 5

טוען את הטאבים...

תרגיל	נתונה הפונקציה $f(x)=(1-e^{x})^{2}$ האסימפטוטה האופקית שלה היא $y=1$ מצא את נקודת הקיצון של הפונקציה, וקבע את סוגה סרטט סקיצה של גרף הפונקציה. הוסף לסקיצה שסרטטת בסעיף ב', סקיצה של גרף הפונקציה $g(x)=e^{2x}$, ומצא את נקודת החיתוך בין שני הגרפים השטח הנמוגבל על ידי הגרפים של שתי הפונקציות ועל ידי ציר $y$
נושא	פונקציה מעריכית חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי, הקשר בין פונקציה לגרף
מקור	(קישור למסמך המקורי)

1

תרגיל	(תוכן)
נושא
מקור	(קישור למסמך המקורי)

תרגיל	(תוכן)
נושא	(ידע נדרש לפתירת התרגיל)
מקור	(קישור למסמך המקורי)

90%

#AAAAAA

center

כיוון האסימפטוטה

$lim_{x\rightarrow \infty }(1-e^{x})^{2}=(1-e^{\infty })^{2}=\infty$ דהינו אין אסימפטוטה.

$lim_{x\rightarrow -\infty }(1-{\frac {1}{e^{x}}})^{2}=(1-{\frac {1}{e^{\infty }}})^{2}=(1-0)=1$

פתרון: האסימפטוטה היא $y=1$ כאשר $lim_{x\rightarrow -\infty }$

סעיף א

$f'(x)=2(1-e^{x})*(-e^{x})=0$ נחלק ב- $-2(e^{x})$ ונקבל $(1-e^{x})=0$

נפתור את שתי המשוואות ונקבל $1-e^{x}=0$. לאחר העברת אגפים $e^{x}=1$ נקבל $x=0$.

נבדוק את הנקודה החשודה וסוג הנקודה באמצעות נגזרת שנייה $y''(x)=(2e^{2x}-2e^{x})'=4e^{2x}-2e^{x}$

נציב $x=0$ ונקבל $f''(0)=4-2>0min$

נמצא את ערך ה-$y$ של הנקודה, $f(0)=(1-1)^{2}=0$

פתרון : $(0,0)min$

סעיף ב

נסרטט את הפונקציה $f(x)=(1-e^{x})^{2}$ לפי הנתונים לעיל.

הפונקציה $y=e^{2x}$ נראת בדומה לפונקציה $y=e^{x}$ (פשוט חדה יותר)

1. פונקציה חיובית וציר ה- $x$ הוא אסימפטוטה אופקית שלה.
2. נקודת חיתוך $(0,1)$

סעיף ג

נשווה בין שתי הפונקציות $(1-e^{x})^{2}=e^{2x}/{\sqrt {}}$

נפתח סוגרים, $1-2e^{x}+e^{2x}=e^{x}$

נעביר אגפים $1=2e^{x}$

נחלק בשתים ונקבל $e^{x}={\frac {1}{2}}$

נפטר מהמעריכים : $x=ln{\frac {1}{2}}$

נמצא את ערך ה-$y$ של הנקודה ונקבל $y=f({\frac {1}{2}})=(1-e^{ln0.5})^{2}=(1-{\frac {1}{2}})^{2}={\frac {1}{4}}$ נקודת החיתוך $(ln{\frac {1}{2}},{\frac {1}{4}})$

סעיף ג, 2

$s=\int _{ln0.5}^{0}g(x)-f(x)dx=\int _{ln0.5}^{0}(e^{2x}-(1-e^{x})^{2})dx=\int _{ln0.5}^{0}(e^{2x}-1+2e^{x}-e^{2x})dx=\int {ln0.5}^{0}(2e^{x}-1)dx=(2e^{x}-x)$

נציב את הערכים: $(2e^{0}-0)-(2e^{ln(0.5)-ln(0.5)})=2*1-0-2*0.5+ln(0.5)=1-ln(2)=0.3069$

הוסף קטגוריה מתאימה בהתאם לקטגוריות הקיימות ב: פתרונות לבגרויות (לפי נושא) על פי הכיתוב: לפי "נושא - שאלון"