טוען את הטאבים...

תרגיל

הגרפים של הפונקציות: $\ f(x)=-x^{2}+x$ , $\ g(x)=ax^{2}$ ( $\ a>0$ ) נחתכים בנקודות $\ M$ ו- $\ O$ . מהנקודה $\ M$ הורידו אנך לצי - $\ x$ (ראה ציור).

הבעה באמצות $\ a$ את שיעורי ה- $\ x$ של הנקודה $\ M$ , ואת השטח המוגבל על ידי גרף הפונקציה $\ g(x)$ , על ידי האנך ועל ידי ציר ה- $\ x$ (השטח המקווקו בציו).
חשב את הערך של $\ a$ , שעבורו השטח שהבעת בסעיף א' הוא מקסימלי

נושאים

מקור

[1]

1

90%

#AAAAAA

center

פתרון

א

מכיוון ששיעור ה- $\ x$ של הנקודה $\ M$ הוא בדיוק הערך $\ x\neq 0$ עבורו $\ f(x)=g(x)$ , הרי שכדי למצוא אותו עלינו למצוא את המשוואה הריבועית שנובעת משוויון זה:

$\ ax^{2}+x^{2}-x=0$

כדי לפתור את המשוואה נשים לב כי מכיוון שאנו מחפשים $\ x\neq 0$ ניתן לחלק ב- $\ x$ ולקבל את המשוואה:

$\ (a+1)x-1=0$

כדי לפתור את המשוואה הזו נשים לב כי נתון לנו $\ a>0$ , מה שמבטיח כי $\ a+1\neq 0$ ולכן ניתן לחלק בו, כלומר:

$\ x={\frac {1}{a+1}}$

כעת, השטח המוגבל על ידי גרף הפונקציה $\ g(x)$ , ציר ה- $\ x$ והאנך שיורד מ- $\ M$ הוא בדיוק אינטגרל הפונקציה $\ g(x)$ בין $\ 0$ ובין $\ {\tfrac {1}{a+1}}$ , כלומר:

$\ S=\int _{0}^{\tfrac {1}{a+1}}ax^{2}=\left[{\frac {ax^{3}}{3}}\right]_{0}^{\tfrac {1}{a+1}}={\frac {a}{3}}\cdot \left({\frac {1}{a+1}}\right)^{3}={\frac {a}{3(a+1)^{3}}}$

ב

נחשוב על השטח בתור פונקציה של המשתנה $\ a$ , ונסמן אותה בתור $\ S(a)={\tfrac {a}{3(a+1)^{3}}}$ . כדי למצוא מקסימום לפונקציה נגזור אותה ונקבל:

$\ S'(a)={\frac {3(a+1)^{3}-a\cdot 9(a+1)^{2}}{9(a+1)^{6}}}={\frac {(a+1)^{2}(3(a+1)-9a)}{9(a+1)^{6}}}={\frac {(a+1)^{2}(3-6a)}{9(a+1)^{6}}}={\frac {(a+1)^{2}(1-2a)}{3(a+1)^{6}}}={\frac {1-2a}{3(a+1)^{4}}}$

כדי שהפונקציה תתאפס המונה חייב להתאפס, כלומר צריך להתקיים $\ a={\tfrac {1}{2}}$ .

כדי לבדוק האם קיבלנו נקודת מקסימום נגזור את $\ S$ שנית.

$\ S''(a)={\frac {-6(a+1)^{4}-12(1-2a)(a+1)^{3}}{9(a+1)^{8}}}=-{\frac {3(a+1)^{3}(2(a+1)+4(1-2a))}{9(a+1)^{8}}}=-{\frac {2a+2+4-8a}{3(a+1)^{5}}}=$
$\ =-{\frac {-6a+6}{3(a+1)^{5}}}=-2\left({\frac {1-a}{(a+1)^{5}}}\right)$

ולאחר הצבת $\ a={\tfrac {1}{2}}$ נקבל:

$\ S''\left({\frac {1}{2}}\right)=-2\left({\frac {1-{\tfrac {1}{2}}}{({\tfrac {1}{2}}+1)^{5}}}\right)<0$

כלומר, קיבלנו נקודת מקסימום, כנדרש.