טוען את הטאבים...

תרגיל

נתונה הפוקציה : $\ f(x)=a\sin ^{3}x-3b\sin x$ בתחום $0\leq x\leq \pi$ . ישר, משיק לגרף הפונקציה בנקודה שבה $\ x={\frac {\pi }{6}}$ מקביל לצי ה- $\ x$ .

הרא כי $\ a=4b$ .
נתון : $\ b>0$ . מצא את שיעורי נקודות הקיצון של הפונקציה $\ f(x)$ בתחום הנתון (הבע באמצעות $\ b$ לפי הצוך), וקבע את סוגן.

מקור

[1]

1

90%

#AAAAAA

center

פתרון

א

הנתון על כך שהישר המשיק בנקודה $\ x={\frac {\pi }{6}}$ מקביל לציר $\ x$ משמעותו שהנגזרת של $\ f(x)$ באותה נקודה היא 0. נגזור אם כן את הפונקציה ונקבל:

$\ f'(x)=3a\cos(x)\sin ^{2}(x)-3b\cos(x)$

נזכור כי ידוע שמתקיים:

$\ \sin(\pi /6)=1/2$

נציב את הנקודה שבה נתון המשיק:

$\ 0=f'\left({\frac {\pi }{6}}\right)=3a\cos \left({\frac {\pi }{6}}\right)\sin ^{2}\left({\frac {\pi }{6}}\right)-3b\cos \left({\frac {\pi }{6}}\right)=3\cos \left({\frac {\pi }{6}}\right)\left({\frac {1}{4}}a-b\right)$

כלומר, מכיוון ש- $\ \cos \left({\frac {\pi }{6}}\right)\neq 0$ קיבלנו:

$\ {\frac {1}{4}}a-b=0$

כלומר

$\ a=4b$

כפי שנדרשנו להוכיח.

ב

נקודות הקיצון של הפונקציה יכולות להתקבל רק כאשר $\ f'(x)=0$ . בסעיף שעבר חישבנו את הנגזרת וקיבלנו (אחרי הצבה $\ a=4b$ ):

$\ f'(x)=3b\cos(x)(4\sin ^{2}(x)-1)$

כלומר, כדי שיתקיים $\ f'(x)=0$ צריך להתקיים אחד משני תנאים:

$\ \cos(x)=0$
$\ 4\sin ^{2}(x)=1$

בתחום $\ 0\leq x\leq \pi$ , התנאי הראשון מתקיים רק עבור $\ x={\frac {\pi }{2}}$ .

נפשט את המשוואה עבור התנאי השני על ידי הוצאת שורש והעברת אגפים ונקבל:

$\ \sin(x)=\pm {\frac {1}{2}}$

זה מתקיים בתחום הנתון עבור $\ x={\frac {\pi }{6}}$ (שכבר ראינו בסעיף הקודם) ועבור $\ x={\frac {5\pi }{6}}$ .

נציב את הנקודות בפונקציה המקורית, ונקבל:

$\ f\left({\frac {\pi }{2}}\right)=4b-3b=b$
$\ f\left({\frac {\pi }{6}}\right)=4b\cdot {\frac {1}{8}}-3b\cdot {\frac {1}{2}}={\frac {-2b}{2}}=-b$
$\ f\left({\frac {5\pi }{6}}\right)=4b\cdot {\frac {1}{8}}-3b\cdot {\frac {1}{2}}={\frac {-2b}{2}}=-b$

לכן שלוש הנקודות החשודות הן הנקודות $\ \left({\frac {\pi }{2}},b\right),\left({\frac {\pi }{6}},-b\right),\left({\frac {5\pi }{6}},-b\right)$

כדי לבדוק את סוג הנקודות, נגזור שוב לקבלת הנגזרת השנייה:

$\ f''(x)=-3b\sin(x)(4\sin ^{2}(x)-1)+3b\cos(x)(8\cos(x)\sin(x))=3b\sin(x)(1-4\sin ^{2}(x)+8\cos ^{2}(x))$

נציב את הנקודות שמצאנו, ונקבל:

$\ f''\left({\frac {\pi }{2}}\right)=3b(1-4)=-9b<0$
$\ f''\left({\frac {\pi }{6}}\right)={\frac {3}{2}}b\left(1-4{\frac {1}{4}}+8{\frac {3}{4}}\right)={\frac {3}{2}}b\left(1-1+6\right)=9b>0$
$\ f''\left({\frac {5\pi }{6}}\right)={\frac {3}{2}}b\left(1-4{\frac {1}{4}}+8{\frac {3}{4}}\right)={\frac {3}{2}}b\left(1-1+6\right)=9b>0$

ולכן $\ \left({\frac {\pi }{2}},b\right)$ היא נקודת מקסימום, ואילו $\ \left({\frac {\pi }{6}},-b\right),\left({\frac {5\pi }{6}},-b\right)$ הן נקודות מינימום.