שאלה 4 [1]

א

נכתוב את $\ z_{1},z_{2}$ במפורש: $\ z_{1}=a+bi,z_{2}=c+di$ . מהנתון על פיו חלקים המדומה של המספרים אינו אפס, אנו למדים כי $\ b\neq 0,d\neq 0$ .

על פי חוקי החיבור והכפל של מספרים מרוכבים נקבל:

$\ z_{1}+z_{2}=(a+c)+(b+d)i$
$\ z_{1}\cdot z_{2}=(ac-bd)+(ad+bc)i$

נתון ש- $\ z_{1}+z_{2}$ ו- $\ z_{1}\cdot z_{2}$ הם מספרים ממשיים, כלומר חלקם המדומה הוא אפס. מכאן נקבל את שתי המשוואות:

$\ b+d=0$
$\ ad+bc=0$

מהמשוואה הראשונה נסיק:

$\ b=-d$

נציב זאת במשוואה השנייה ונקבל:

$\ ad-cd=0$

כלומר:

$\ (a-c)d=0$

כדי שמשוואה זו תתקיים, או ש- $\ d=0$ , או ש- $\ a-c=0$ , אבל נתון לנו כי $\ d\neq 0$ . לכן $\ a-c=0$ , כלומר $\ a=c$ .

נסכם: קיבלנו $\ a=c,b=-d$ , ולכן $\ z_{1}=a+bi,z_{2}=a-bi$ , כלומר $\ z_{1}={\overline {z_{2}}}$ , כמבוקש.

ב

ידוע לנו האיבר הראשון בסדרה: $\ a_{1}=-i$ . עלינו למצוא את מנת הסדרה $\ q$ ואז נוכל למצוא את $\ a_{9}$ באמצעות הנוסחה $\ a_{n}=a_{1}\cdot q^{n-1}$ .

נקבל:

$\ {\frac {1-i}{-i}}\cdot {\frac {i}{i}}={\frac {(1-i)i}{-i^{2}}}={\frac {i-i^{2}}{-(-1)}}={\frac {i-(-1)}{1}}=i+1$

לצורך בדיקה אפשר לוודא ש- $\ a_{2}\cdot q=a_{3}$ , ואכן $\ (1-i)(1+i)=1-i^{2}=2$ .

על פי הגדרת סדרה הנדסית, $\ q={\frac {a_{2}}{a_{1}}}={\frac {1-i}{-i}}$ . כדי למצוא את השבר נכפול מונה ומכנה ב- $\ i$ כדי להיפטר מהמספר המרוכב שבמכנה (השיטה הכללית להעלמת מספר מרוכב במכנה - כפל מונה ומכנה בצמוד שלו).

נקבל:

$\ {\frac {1-i}{-i}}\cdot {\frac {i}{i}}={\frac {(1-i)i}{-i^{2}}}={\frac {i-i^{2}}{-(-1)}}={\frac {i-(-1)}{1}}=i+1$

לצורך בדיקה אפשר לוודא ש- $\ a_{2}\cdot q=a_{3}$ , ואכן $\ (1-i)(1+i)=1-i^{2}=2$ .

אם נציב $\ n=9$ בנוסחה $\ a_{n}=a_{1}\cdot q^{n-1}$ נראה כי עלינו לחשב את $\ q^{8}$ . מכיוון שקל יותר לחשב חזקות בהצגה קוטבית של מספרים מרוכבים, בעזרת משפט דה-מואבר, נמצא את ההצגה הקוטבית של $\ q$ .

הערך המוחלט של $\ q$ הוא $\ |q|={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}={\sqrt {1^{2}+1^{2}}}={\sqrt {2}}$ .

והארגומנט הוא: $\ \theta =\tan ^{-1}\left({\frac {b}{a}}\right)=\tan ^{-1}\left({\frac {1}{1}}\right)=\tan ^{-1}(1)=45^{\circ }$

כלומר, קיבלנו $\ q={\sqrt {2}}\cdot \mathrm {cis} (45^{\circ })$ .

על פי נוסחת דה-מואבר נקבל: $\ q^{8}={\sqrt {2}}^{8}\cdot \mathrm {cis} (45^{\circ }\cdot 8)=2^{4}\cdot \mathrm {cis} (360^{\circ })=16\cdot \mathrm {circ} (0^{\circ })$

כלומר, קיבלנו $\ q^{8}=16$ .

לכן $\ a_{9}=a_{1}\cdot q^{8}=-i\cdot 16=-16i$ .