מתמטיקה תיכונית/מתמטיקה לבגרות/פתרונות מבחני בגרות/אינטרני/קיץ א, תשס"ג (חדשה)/035203/תרגיל 15

טוען את הטאבים...

תרגיל	נתונה הפונקציה $y=\frac{e^{ax}}{1-x}$ כאשר $a>0$ מהו תחום ההגדרה של הפונקציה? מצאו את שיעורי נקודת הקיצון של הפונקציה וקבעו את סוגה. מצאו את האסימפטוטות של הפונקציה המקבילות לצירים. סרטט סקיצה של גרף הפונקציה. נתון הישר $y=k$, הבע באמצעות $a$ את ערכי $k$ עבורם אינן נקודות חיתוך בין הישר הנתון לפונקציה הנתונה.
נושא	(ידע נדרש לפתירת התרגיל)
מקור	[1]

1

תרגיל	(תוכן)
נושא	(ידע נדרש לפתירת התרגיל)
מקור	(קישור למסמך המקורי)

תרגיל	(תוכן)
נושא	(ידע נדרש לפתירת התרגיל)
מקור	(קישור למסמך המקורי)

90%

#AAAAAA

center

סעיף א

$1-x\ne 0$

$x\ne 1$

סעיף ב

נגזור את פונקצית המנה: $y=\frac{e^{ax}}{1-x}$

גזירת המונה:$a{e}^{ax}$

גזירת המכנה: $1$

ועל פי כלל גזירת מנה: $y^{\prime }=\frac{a{e}^{ax}(1-x)-e^{ax}}{(1-x{)}^2}$

נוציא גורם משותף, $y^{\prime }=\frac{e^{ax}(a-ax+1)}{(1-x{)}^2}$

נשווה לאפס ונכפיל במונה (חיובי), $e^{ax}(a-ax+1)=0$

מאחר ש-$e^{ax}>0$ ניתן להתעלם מהביטוי.

נקבל $a-ax+1=0$

כלומר ערך ה-$x$ החשוד הינו $x=\frac{a+1}{a}=1+\frac{1}{a}$

נמצא נגזרת שנייה עבור הנגזרת $y^{\prime }=\frac{e^{ax}(a-ax+1)}{(1-x{)}^2}$.

מכנה : $y(e^{ax}(a-ax+1){)}^{\prime }=a{e}^{ax}(a-ax+1)+e^{ax}\ast -a$

מונה: חיובי תמיד ולכן אין צורך ממשי לגזור אותו, נסמן אותו ב-$+$.

הנגזרת המתקבלת $\frac{e^{ax}(1-ax)(+)-e^{ax}(a-ax+1)(+)}{(+)}$

נציב את ערך ה-$x$ החשוד ונקבל, $y^{″}=\frac{e^{a\ast \frac{a+1}{a}}(1-a\ast \frac{a+1}{a})(+)-e^{a\ast \frac{a+1}{a}}(a-a\ast \frac{a+1}{a}+1)(+)}{(+)}$

נצמצם, $y^{″}=\frac{e^{a+1}(-a)(+)-e^{a+1}(0)(+)}{(+)}$

הביטוי $e^{a+1}>0$ ולכן הנגזרת שלילית. לפיכך, יש לנו נקודת מקסימום.

נמצא את ערך ה-$y$ ונקבל $y=\frac{e^{1+a}}{1-1-\frac{1}{a}}=-a{e}^{1+a}$.

סעיף ג

אסיפטוטה אנכית: $x=1$

בדיקה שלא מדובר בחור עבור הפונקציה $y=\frac{e^{ax}}{1-x}=\frac{e^a}{1-1}$ מאחר שאין ביטוי המאפס את $e^{ax}$, הגבול החשוד אסימפטוטה.

אסיפטוטה אופקית:

נציב $li{m}_{x\to \mathrm{\infty }}$ ונקבל $y=\frac{e^{a\mathrm{\infty }}}{1-\mathrm{\infty }}=\frac{big}{small}$ ועל כן אין אסימפטוטה.

נציב $li{m}_{x\to -\mathrm{\infty }}$ ונקבל $y=\frac{e^{-a\mathrm{\infty }}}{1+\mathrm{\infty }}=\frac{1+\mathrm{\infty }}{e^{-a\mathrm{\infty }}}=\frac{small}{big}=0$

סעיף ה=

הערכים בהם לא יכולים להיות חיתוך בין ישר לפונקציה הינם הערכים בתחום $-a{e}^{1+a}<k\le 0$ בשל האסימפטוטה ונקודת קיצון כפי שניתן לראות בסרטוט.