מתמטיקה תיכונית/מתמטיקה לבגרות/פתרונות מבחני בגרות/אינטרני/קיץ א, תשס"ג/035302/תרגיל 3

טוען את הטאבים...

תרגיל	הוכחה באינדוציה, או בכל דרך אחרת, כי לכל $\ n$ טבעי מתקיים $\ 1+9+45+\cdots +(2n-1)*3^{n-1}=1+(n-1)3^{n}$ חשב את הסכום : $\ 5*3^{2}+\cdots +13*3^{6}$
נושאים	מתמטיקה תיכונית/אלגברה תיכונית/אינדוקציה מתמטית, הוצאת גורם משותף, סכום
מקור	[1] [2]

1

90%

#AAAAAA

center

פתרון

סעיף 1

בדיקה נכונות הטענה עבור $\ n=1$

${\begin{aligned}&L_{eft}:+(2*1-1)*3^{1-1}=1&1+(1-1)3^{1}=1\\&1=1\surd \\\end{aligned}}$

נניח כי הטענה נכונה עבור $\ n=k$ טבעי

$1+9+45+\cdots +(2k-1)*3^{k-1}=1+(k-1)3^{k}$

נוכיח כי הטענה נכונה עבור n=k+1

${\begin{aligned}&1+9+45+\cdots +(2k-1)*3^{k-1}+(2(k+1)-1)*3^{(k+1)-1}=1+(k+1-1)3^{k+1}\\&1+9+45+\cdots +(2k-1)*3^{k-1}+(2k+1)*3^{k}=1+(k)*3^{k+1}\\&\underbrace {1+9+45+\cdots +(2k-1)*3^{k-1}} _{1+(k-1)3^{k}}+(2k+1)*3^{k}=1+k*3^{k+1}\\&1+(k-1)3^{k}+(2k+1)*3^{k}=1+k*3^{k+1}\\&3^{k}[(k-1)+(2k+1)]=k*3^{k+1}\\&3^{k}[k-1+2k+1]=k*3^{k+1}\\&3^{k}*3*k=k*3^{k+1}\\&3^{k}*3^{k+1}=k*3^{k+1}\\\end{aligned}}$

האינדוקציה נכונה על פי 4 שלבי האינדוקציה.

סעיף 2

חשב את הסכום : $\ 5*3^{2}+\cdots +13*3^{6}$

כיוון שתרגיל האינדוקציה מאוד פשוטה, אפשר לגלות את ה-$\ n$ים ישר מהתרגיל : $\ 1+9+45+\cdots +(2n-1)*3^{n-1}$ שווה ל-$\ n=3$ ול-$\ n=7$.
על פי סכום האינדוקציה : $\ 1+(n-1)3^{n}$, כלומר עלינו לבצע $\ S_{1-13}-S_{1-2}$. (אנו מחשיביפ עד $\ n=2$ כיוון שאנו רוצים לכלול את סכום האיב במקום הפענוח נכשל (פונקציה "\n" לא מוכרת): {\displaystyle \n=3} )

${\begin{aligned}&S_{7}=1+(7-1)3^{7}=13123\\-\\&{\underline {S_{2}=1+(2-1)*3^{2}=10}}\\&S_{5-7}=13,113\\\end{aligned}}$