מתמטיקה תיכונית/מתמטיקה לבגרות/פתרונות מבחני בגרות/אינטרני/חורף, תשע"ז/035806/תרגיל 6

טוען את הטאבים...

תרגיל	נתונה הפונקציה $f(x)={\frac {ax^{2}+4x}{x^{2}+3x+b}}$ $a,b$ הם פרמטרים. נתון $x=1$, $y=1$ הן אסימפטוטות של הפונקציה. מצא את $a$ ואת $b$ מצא את תחום ההגדרה של הפונקציה מצא את נקודות החיתוך של גרף הפונקציה עם הצירים (אם יש כאלה). האם יש לפונקציה אסימפטוטות נוספות המאונכות לצירים (מלבד $x=1$ ו-$y=1$)? הסבר מצא את תחומי העלייה והירידה של הפונקציה (אם יש כאלה) סרטט סקיצה של גרף הפונקציה. עבור אלו ערכי $x$ מתקיים $|f(x)|=-f(x)$? נמק. נגדיר $g(x)=f^{2}(x)*f'(x)$ הראה כי השטח המוגבל על ידי ציר ה-$x$, על ידי גרף הפוקנציה $g(x)$ ועל ידי הישר $x=0.5$ הוא ${\frac {1}{3}}$. נמק את תשובתך
נושא	(ידע נדרש לפתירת התרגיל)
מקור	(קישור למסמך המקורי)

1

תרגיל	(תוכן)
נושא	(ידע נדרש לפתירת התרגיל)
מקור	(קישור למסמך המקורי)

תרגיל	(תוכן)
נושא	(ידע נדרש לפתירת התרגיל)
מקור	(קישור למסמך המקורי)

90%

#AAAAAA

center

סעיף א

נמצא באמצעות האסימפטוטה האנכית $x=1$ את הפרמטר $b$ עבור הפונקציה: $f(x)={\frac {ax^{2}+4x}{x^{2}+3x+b}}$

נציב $x=1$ ונשווה לאפס את המכנה $1^{2}+3*1+b=0$ לפיכך $b=-4$

נמצא באמצעות האסימפטוטה האופקית $y=1$ את הפרמטר $a$ עבור הפונקציה: $f(x)={\frac {ax^{2}+4x}{x^{2}+3x-4}}$

מאחר ומדובר בפונקצית חזקה ניתן לבצע בדיקה זריזה. אנו נעזר בדרך הארוכה: $f(x)={\frac {{\frac {ax^{2}}{x^{2}}}+{\frac {4x}{x^{2}}}}{{\frac {x^{2}}{x^{2}}}+{\frac {3x}{x^{2}}}-{\frac {4}{x^{2}}}}}$

נצמצם ונקבל $f(x)={\frac {a+{\frac {4}{x}}}{1+{\frac {3}{x}}-{\frac {4}{x^{2}}}}}$

נציב $x\rightarrow \infty$ ונקבל $f(x)={\frac {a+{\frac {4}{\infty }}}{1+{\frac {3}{\infty }}-{\frac {4}{\infty ^{2}}}}}$

על פי הנתונים $y=1$ ולכן $f(x)={\frac {a+0}{1+0-0}}=1$ דהינו $a=1$

מכאן $f(x)={\frac {x^{2}+4x}{x^{2}+3x-4}}$

סעיף ב

נמצא את תחום ההגדרה עבור $f(x)={\frac {x^{2}+4x}{x^{2}+3x-4}}$

$x^{2}+3x-4\neq 0$

נעזר בטרינום $(x+4)(x-1)\neq 0$

$x\neq 1,\ \ x\neq -4$

סעיף 2

נמצא נקודות חיתוך עם ציר ה-y על ידי הצבה $x=0$

$f(x)={\frac {0^{2}+4*0}{0^{2}+3*0-4}}=0$ נקודת החיתוך $(0,0)$

נמצא נקודות חיתוך עם ציר ה-x על ידי הצבה $y=0$

${\frac {x^{2}+4x}{x^{2}+3x-4}}=0$

נפטר מהמכנה $x^{2}+4x=0$ נוציא גורם משותף: $x(x+4)=0$ ונקבל כי נקודות החיתוך $(0,0),(-4,0)$

סעיף 3

על פי סעיף 1 לפונקציה נקודה חשודה כאסימפטוטה אנכית נוספת $x=-4$ ואין אסימפטוטה אופקית נוספת (על פי סעיף א$f(x)={\frac {1+0}{1+0-0}}$)

נבדוק האם הנקודה $x=-4$ יכולה להיות חור במידה ומאפסת את המונה ונקבל כי ${\frac {(-4)^{2}+4*-4}{(-4)^{2}+3*-4-4}}$ הנקודה מאפסת גם את המונה.

לפיכך יתכן כי יש לנו נקודה חשודה להיות חור. נציב בטבלה :

$-4.001$	$-4.01$	$-4$
0.800039992	0.80003992016	גבול חשוד	$y$

מאחר שערך ה-y קטן ככל שמתקרבים לנקודה => חור.

[אפשרות אחרת היא לצמצם את הפונקציה : ${\frac {(x(x+4)}{(x-1)(x+4)}}$ ולקבל ${\frac {(x}{(x-1)}}$

כאשר נציב $x\rightarrow \infty$ נקבל כי y אינו שואף לאינסוף ולכן יש לנו חור]

סעיף 4

נגזור את הפונקציה ${\frac {x(x+4)}{(x+4)(x-1)}}$ כלומר את הפונקציה ${\frac {x}{(x-1)}}$ על פי פונקצית מנה:

${\frac {1(x-1)-(x)*1}{(x-1)^{2}}}={\frac {-1}{(x-1)^{2}}}=0$

נשווה לאפס ונמצא נקודות קיצון:${\frac {-1}{(x-1)^{2}}}=0$ אין נקודות חיתוך. לכן עליה וירידה תלוי בחור ובאסימפטוטה $x=1$

ירידה $x>1\ \ -4<x<1\ \ \ x<-4$

עליה: אין.

סעיף ד

עבור אלו ערכי $x$ מתקיים $|f(x)|=-f(x)$? נמק.

במילים אחרות נשאל מתי $f(x)\leq 0$.

נביט בסרטוט ונראה כי הערכים בהם הפונקציה קטנה מאפס הם $0\leq x<1$

סעיף ה

נגדיר $g(x)=f^{2}(x)*f'(x)$ הראה כי השטח המוגבל על ידי ציר ה-$x$, על ידי גרף הפונקציה $g(x)$ ועל ידי הישר $x=0.5$ הוא ${\frac {1}{3}}$. נמק את תשובתך

נבצע אינטגרל : $\int 0-g(x)$ (ניתן לראות כי הפונקציה מתחת ציר ה-x מפני ש-f^2(x) תמיד חיובי ואילו הנגזרת על פי סעיף ד4 הוא שלילי).

$\int {\frac {1}{3}}*f^{3}(x)*f'(x)$

פרק זה לוקה בחסר. אתם מוזמנים לתרום לוויקיספר ולהשלים אותו. ראו פירוט בדף השיחה.

הוסף קטגוריה מתאימה בהתאם לקטגוריות הקיימות ב: פתרונות לבגרויות (לפי נושא) על פי הכיתוב: לפי "נושא - שאלון"