מתמטיקה תיכונית/מתמטיקה לבגרות/פתרונות מבחני בגרות/אינטרני/חורף, תשס"ה/035007/תרגיל 5

טוען את הטאבים...

תרגיל	לגרף הפונקציה $y=e^{\frac {x}{2}}$ העבירו משיק בנקודה ברביע הראשון שבה $x=t$. הביעו באמצעות $t$ את משוואת המשיק. נתון כי משיק זה חותך את ציר ה-$x$ בנקודה $x=2$. חשב את השטח המוגבל על ידי גרף הפונקציה, על ידי המשיק ועל ידי ציר ה-$y$.
נושא	(ידע נדרש לפתירת התרגיל)
מקור	[1]

1

תרגיל	(תוכן)
נושא	משיק, אינטגרלים ונגזרת של פונקצית e
מקור	(קישור למסמך המקורי)

תרגיל	(תוכן)
נושא	(ידע נדרש לפתירת התרגיל)
מקור	(קישור למסמך המקורי)

90%

#AAAAAA

center

סעיף א

הנקודה דרכה עובר המשיק היא $t$. הנקודה הזו נמצא על הפונקציה $y=e^{\frac {x}{2}}$ ולכן נציב אותה בכדי למצוא את ערך ה-$y$ שלה.

$y=e^{\frac {t}{2}}$ דהינו נקודת ההשקה $(t,e^{\frac {t}{2}})$.

נציב במשוואת הישר $y-y_{1}=m(x-x_{1})$ ונקבל $y-e^{\frac {t}{2}}=m(x-t)$

נותר לנו למצוא את שיפוע המשיק בנקודה. השיפוע זהה לשיפוע הפונקציה באותה, ולכן נגזור את $y=e^{\frac {x}{2}}$ נקבל $y'={\frac {1}{2}}e^{\frac {x}{2}}$ ונציב את ערך ה-$x$ של נקודת ההשקה, דהינו נגזרת הינה $y'={\frac {1}{2}}e^{\frac {t}{2}}$

נציב את הנגזרת במשוואת הישר: $y-e^{\frac {t}{2}}={\frac {1}{2}}e^{\frac {t}{2}}(x-t)$

נפתח ונקבל $y={\frac {1}{2}}e^{\frac {t}{2}}x-{\frac {1}{2}}e^{\frac {t}{2}}t+e^{\frac {t}{e^{2}}}$

סעיף ב

על פי נתוני השאלה, אנו יודעים כי המשיק עובר דרך הנקודה $(2,0)$ ולכן נוכל למצוא את ערך ה-$t$: $0={\frac {1}{2}}e^{\frac {t}{2}}x-{\frac {1}{2}}e^{\frac {t}{2}}t+e^{\frac {t}{e^{2}}}$

נקבל $2={\frac {t}{2}}$ ולסיכום $t=4$.

מכאן משואות המשיק $y={\frac {1}{2}}e^{2}x-e^{2}$

עתה נמצא את האינטגרל. התחומים שלו הן בין נקודת ההשקה לבין ציר ה-$y$ והוא השטח הכלוא בין הפונקציה למשיק, דהינו השטח בין הפונקציה לציר ה-$x$ פחות השטח בין המשיק לציר ה-$x$.

$s=\int _{0}^{4}e^{\frac {x}{2}}-({\frac {1}{2}}e^{2}x-e^{2})dx=\int _{0}^{4}e^{\frac {x}{2}}-{\frac {1}{2}}e^{2}x+e^{2}d$

נציב את התחום:$\left|2e^{\frac {x}{2}}-{\frac {1}{4}}e^{2}x^{2}+e^{2}x\right|_{0}^{4}=2e^{2}-4e^{2}+4e^{2}-(2+0+0)=2e^{2}-2$