טוען את הטאבים...

תרגיל

סדרה מוגדרת על ידי כלל נסיגה : $\begin{matrix} {\begin{matrix} a_{1} = \frac{1}{2} \\ a_{n + 1} = a_{n} + \frac{1}{(n + 1) (n + 2)} \end{matrix} \end{matrix}$

הוכחה באינדוציה, או בכל דרך אחרת, כי כל $n$ טבעי מתקיים : $\frac{1}{2^{2}} + \frac{1}{3^{2}} + \frac{1}{4^{2}} + \dots + \frac{1}{(n + 1)^{2}} < a_{n}$

נושאים

מציאת הנוסחה הכללית של הסדרה, אי שיוויון

מקור

[1] [2]

1

90%

#AAAAAA

center

פתרון

מציאת $a n$

נמצא את הנוסחה הכללית לאיבר $a n$ באמצעות הנוסחה של האיבר $a_{n + 1}$ : ומכאן הנוסחה של $a_{2 n + 2}$ הינה :
$\begin{matrix} a_{1} = \frac{1}{2} \\ a_{2} = a_{1} + \frac{1}{(n + 1) (n + 2)} = \frac{1}{2} + \frac{1}{(1 + 1) (1 + 2)} = \frac{2}{3} \\ a_{3} = a_{2} + \frac{1}{(2 + 1) (2 + 2)} = \frac{3}{4} \end{matrix}$

כלומ הסדרה הינה : $\frac{1}{2} + \frac{2}{3} + \frac{3}{4} + \dots$ , כלומר הנוסחה של האיבר הכללי (אותה ניתן לראות בעין) הינה : $a_{n} = \frac{n}{n + 1}$ (הסדרה היא סדרה הנדסית).

אינדוקציה

האיבר הראשון : $a_{1} = \frac{1}{2}$

נוסחת הנסיגה: $a_{n + 1} = a_{n} + \frac{1}{(n + 1) (n + 2)}$ .
צ"ל : $\frac{1}{2^{2}} + \frac{1}{3^{2}} + \frac{1}{4^{2}} + \dots + \frac{1}{(n + 1)^{2}} < \frac{n}{n + 1}$

בדיקה נכונות הטענה עבור $n = 1$

$\begin{matrix} L : \frac{1}{(n + 1)^{2}} = \frac{1}{(1 + 1)^{2}} = \frac{1}{2} \\ R : \frac{1}{1 + 1} = \frac{1}{2} \end{matrix}$

נניח כי הטענה נכונה עבור $n = k$ טבעי

$\frac{1}{2^{2}} + \frac{1}{3^{2}} + \frac{1}{4^{2}} + \dots + \frac{1}{(k + 1)^{2}} < \frac{k}{k + 1}$

נוכיח כי הטענה נכונה עבור n=k+1

$\begin{matrix} \frac{1}{2^{2}} + \frac{1}{3^{2}} + \frac{1}{4^{2}} + \dots + \frac{1}{(k + 1)^{2}} + \frac{1}{(k + 2)^{2}} < \frac{k + 1}{k + 2} \\ \underset{e n o u g t h : \frac{k}{k + 1}}{\underset{⏟}{\frac{1}{2^{2}} + \frac{1}{3^{2}} + \frac{1}{4^{2}} + \dots + \frac{1}{(k + 1)^{2}}}} + \frac{1}{(k + 2)^{2}} < \frac{k + 1}{k + 2} \\ \frac{k}{k + 1} + \frac{1}{(k + 2)^{2}} < \frac{k + 1}{k + 2} \\ k (k + 2)^{2} + k + 1 < (k + 1) (k + 1) (k + 2) \\ k (k^{2} + 4 k + 4) + k + 1 < (k^{2} + 2 k + 1) (k + 2) \\ k^{3} + 4 k^{2} + 4 k + k + 1 < k^{3} + 2 k^{2} + 2 k^{2} + 4 k + k + 2 \\ 1 < 2 \end{matrix}$

האינדוקציה נכונה על פי 4 שלבי האינדוקציה.

פתרון

מציאת an

אינדוקציה

בדיקה נכונות הטענה עבור n=1

נניח כי הטענה נכונה עבור n=k טבעי

נוכיח כי הטענה נכונה עבור n=k+1

מציאת $a n$

בדיקה נכונות הטענה עבור $n = 1$

נניח כי הטענה נכונה עבור $n = k$ טבעי