מתמטיקה תיכונית/טריגונומטריה/שטח משולש על פי שלוש זוויות ורדיוס המעגל החוסם

נוסחה

$S_{\triangle }=2R^{2}*sin\alpha *sin\beta *sin\gamma$

הוכחה

על פי משפט הסינוסים ${a \over \sin \alpha }={b \over \sin \beta }=2R$ לכן $a=2R*sin\alpha$ וכן $b=2R*sin\beta$

על פי נוסחת שטח משולש באמצעות שתי צלעות וזווית בניהן: ${\displaystyle S={\frac {ab\cdot \sin(\gamma )}{2}}}$

נציב את הנוסחה הראשונה בשנייה ונקבל: ${\displaystyle S={\frac {2R*sin\alpha *2R*sin\beta \cdot \sin(\gamma )}{2}}}$

$S_{\triangle }=2R^{2}*sin\alpha *sin\beta *sin\gamma$