מתמטיקה תיכונית/טריגונומטריה/שטח משולש לפי צלע ושלוש זוויות

נוסחה

$S_{\triangle }={\frac {a^{2}*sin\beta *sin\gamma }{2sin\alpha }}$

הוכחה

על פי משפט הסינוסים ${a \over \sin \alpha }={b \over \sin \beta }$ לכן $b={\frac {a*sin\beta }{sin\alpha }}$

על פי נוסחת שטח משולש באמצעות שתי צלעות וזווית בניהן: ${\displaystyle S={\frac {ab\cdot \sin(\gamma )}{2}}}$

נציב את הנוסחה הראשונה בשנייה ונקבל: ${\displaystyle S={\frac {a*{\frac {a*sin\beta }{sin\alpha }}\cdot \sin(\gamma )}{2}}}$

${\frac {a^{2}*sin\beta *sin\gamma }{2sin\alpha }}$

גרסה אלטרנטיבית

סכום הזוויות במשולש הוא $\alpha +\beta +\gamma =180^{\circ }$ ולכן $\beta +\gamma =180^{\circ }-\alpha$

על פי הזהות ${\displaystyle \sin(180^{\circ }-\alpha )=\sin(\alpha )}$ נקבל כי $sin(\alpha )=sin(\beta +\gamma )$

לפיכך נוכל לרשום במקום $\alpha$ את הזוויות $\beta +\gamma$ במכנה, כלומר נקבל:

$S_{\triangle }={\frac {a^{2}*sin\beta *sin\gamma }{2sin(\beta +\gamma )}}$