מתמטיקה תיכונית/טריגונומטריה/משפט הקוסינוסים

הנוסחה

$c^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab*cos\gamma$

הוכחה טריגונומטרית

הוכחה טריגונומטרית במשולש חד זווית

1. נעביר גובה לצלע c (ראו ציור משמאל). $c=a\cos(\beta )+b\cos(\alpha )\,.$.
   (השוויון נכון גם עבור משולש קהה זווית. שם האנך חותך את c מחוץ למשולש וקוסינוס הזווית הקהה הוא שלילי).
2. נכפיל את השוויון הקודם ב-c ונקבל: $c^{2}=ac\cos(\beta )+bc\cos(\alpha )\,.$.
3. באותו אופן מקבלים: $a^{2}=ac\cos(\beta )+ab\cos(\gamma )\,$ , $b^{2}=bc\cos(\alpha )+ab\cos(\gamma )\,$.
4. מחיבור שתי המשוואות הנ"ל נקבל: $a^{2}+b^{2}=ac\cos(\beta )+bc\cos(\alpha )+2ab\cos(\gamma )\,$ .
5. לאחר העברת אגפים נקבל: $ac\cos(\beta )+bc\cos(\alpha )=a^{2}+b^{2}-2ab\cos(\gamma )\,$.
6. לפי השלב השני בהוכחה, אגף שמאל של המשוואה האחרונה שווה ל-c ² ומתקבל משפט הקוסינוסים: $c^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\cos(\gamma ).\,$.