מתמטיקה תיכונית/חשבון דיפרנציאלי/פונקציות לוגריתמיות

מתוך ויקיספר, אוסף הספרים והמדריכים החופשי
קפיצה לניווט קפיצה לחיפוש

פונקציות לוגריתמיות[עריכה]

נזכיר כאן את פעולת הלוגריתם. לטיפול מקיף יותר בנושא יש לעיין בספר אלגברה.

הגדרת הלוגריתם היא כדלהלן: בהינתן מספר חיובי שונה מ-1 שמסומן שמכונה בסיס הלוגריתם, מוגדר כי אם . כלומר, הערך הוא החזקה שבה יש להעלות את כדי לקבל את המספר .

כלומר פונקציה לוגריתמית היא פונקציה מהצורה .

נגזרת[עריכה]

כדי לגזור את הפונקציות הלוגריתמיות נשתמש בכך שהנגזרת של פונקציה מעריכית היא וכן בכך שמתקיים

נגזור את שני האגפים על פי פונקציה מורכבת ונקבל

תחום הגדרה[עריכה]

יש לשים לב לתחום ההגדרה של הפונקציות הלוגריתמיות. אף מספר חיובי שמועלה בחזקה כלשהי לא נותן מספר אי-חיובי, כלומר תחום ההגדרה הוא ויש אסימפטוטה אנכית , כי ככל שx מתקרב ל0 המספר שצריך להעלות בו את a כדי לקבל את x מתקרב למינוס אינסוף.

עלייה וקעירות[עריכה]

על פי הנגזרת שהראינו קודם נקבל שכל הפונקציות הלוגריתמיות בעלות בסיס חיובי עולות וקעורות כלפי מטה (קמורות).

חיתוך[עריכה]

החיתוך של כל הפונקציות הלוגריתמיות הוא בנקודה כי כל מספר שמועלה בחזקת 0 נותן 1.

הלוגריתם הטבעי[עריכה]

הלוגריתם שבסיסו e (e = מספר אוילר = 2.71...) נקרא הלוגריתם הטבעי ומסומן . הנגזרת של פונקציה זו היא וברוב המחשבונים אין אפשרות לחישוב לוגריתם כללי, אלא רק הלוגריתם הטבעי.


פרק זה לוקה בחסר. אתם מוזמנים לתרום לוויקיספר ולהשלים אותו. ראו פירוט בדף השיחה.