מתמטיקה תיכונית/חשבון דיפרנציאלי/פונקציה רציונלית ושורש

מתוך ויקיספר, אוסף הספרים והמדריכים החופשי
קפיצה לניווט קפיצה לחיפוש
נתונה הפונקציה
  1. מהו תחום ההגדרה של הפונקציה?
  2. מהן האסימפטוטות המקבילות לצירים של הפונקציה?
  3. האם קיים ערך של שעבורו יש לפונקציה נקודות קיצון פנימיות? אם כן תן דוגמה. אם לא נמק.
  4. נתון גם ש- מצא את תחומי עלייה וירידה ושרטט סקיצה של גרף הפונקציה.
  5. נתונה הפונקציה שרטט את גרף הפונקציה

תחום ההגדרה וגם ולכן

האסימפטוטה אנכית:

אסימפטוטה אופקית: החזקה הגדולה נמצאת במונה ולכן על פי החוקים נקבל

נקודת חיתוך אסימפטוטה אופקית עם הפונקציה:

נצמצם:

נפתר מהמונה:

נעלה בחזקה:

נקבל:

נצמצם ונקבל:

דהינו האסימפטוטה והפונקציה נחתכות בנקודה

נגזור את הפונקציה: הפונקציה לפנינו היא פונקציה רציונאלית מורכבת עם שורש על כן תחילה נגזור כל פונקציה בנפרד ולאחר מכן נאחד פתרונות.

נגזרת לפונקציה במונה :

נגזרת לפונקציה במכנה :

נקיים את החוקים לפונקציה רציונאלית ונקבל

נמצא מכנה משותף:

נפתח סוגריים:

נכס אברים:

נוציא גורם משותף:

נשווה את הנגזרת לאפס:

נקבל וגם (דהיינו אבל פתרון זה מתבטל בגלל תחום ההגדרה!)

על פי הפתרונות אין לנעלם השפעה על ערך ה- ולכן אין נקודות קיצון עם ביטוי זה.

נבדוק תחומי עלייה וירידה על ידי הצבה: נקודות קיצון והגבולות (תחום הגדרה ואסימפטוטות)

1 0 -2 -3 x
- אין + נקודת קצה y'
יורדת אסימפטוטה עולה קצה y

תחום עליה :

תחום ירידה:

נשרטט גרף: עם ציר ה-X ששווה ל-5 ומהנקודה -3 נוציא אסימפטוטה עד ציר ה-Y לאחר מכן מצדו הימיני נרד.

נשרטט גרף לפונקציה: הפונקציה החדשה שקבלנו היא הפונקציה שלנו + ערך C חופשי. ניתן להתייחס לפונקציה שלנו כאילו הייתה פרבולה. ברגע שמוסיפים ערף C לפרבולה היא עולה או יורדת על הצירים. במקרה שלנו הוסיפו מינוס ולכן היא יורדת -8. מאחר שהפונקציה מתחילה ב-5 נוריד אותה אל -3. השרטוט יראה בדיוק אותו שרטוט.