מתמטיקה תיכונית/וקטורים/שימוש בוקטורים לחישובים והוכחות גיאומטריות

עד כה למדנו על ההגדרות הבסיסיות של הוקטורים ועל הפעולות השונות שניתן לעשות בהם. כעת נראה כיצד ניתן להשתמש בכל מה שלמדנו עד כה לחישובים שונים במישור ובמרחב ולהוכחות גאומטריות שונות.

מציאת אמצע של קטע

דוגמה כללית לחישוב אמצע הקטע במישור

בבעיות גאומטריות שונות מוצאים לעתים קרובות צורך למצוא אמצע של קטע נתון. דרכים שונות למציאת אמצע של קטע עבור נקודות במישור ובמרחב אולי ידועות לקורא כבר מלימודי ההנדסה האנליטית, אך כעת נוכיח את הנוסחה לאמצע קטע במרחב ונראה את השימושים שלה בתרגילי וקטורים.

נתחיל בפיתוח הנוסחה. יהיו A ו-B נקודות במרחב. אנחנו מעוניינים למצוא את נקודת אמצע הקטע AB, נסמן אותה באות E.

כיוון ש-E נקודת האמצע, מתקיים AE = EB וכיוון AE ו-EB נמצאים על אותו ישר יש להם גם את אותו הכיוון, ולכן:
${\overrightarrow {\rm {AE}}}={\overrightarrow {\rm {EB}}}$

ומהתכונות של חיבור וקטורים גאומטריים ידוע לנו ש:
${\overrightarrow {\rm {AB}}}={\overrightarrow {\rm {AE}}}+{\overrightarrow {\rm {EB}}}=2{\overrightarrow {\rm {AE}}}$

כעת, אם O היא ראשית הצירים, ידוע לנו מהתכונות של חיבור וקטורים גאומטריים שמתקיים:
${\overrightarrow {\rm {AB}}}={\overrightarrow {\rm {OB}}}-{\overrightarrow {\rm {OA}}}=2\left({\overrightarrow {\rm {OE}}}-{\overrightarrow {\rm {OA}}}\right)$

אחרי העברת אגפים וצמצום מתקבלת הנוסחה:
${\overrightarrow {\rm {OE}}}={\frac {\left({\overrightarrow {\rm {OA}}}+{\overrightarrow {\rm {OB}}}\right)}{2}}$

כלומר, הקואורדינאטות של E (במישור או במרחב) הן, בהתאמה, ממוצעי הקואורדינאטות של A ו-B.

חלוקה של קטע ביחס נתון

כמו חלוקת קטע מסוים לשתיים, גם חלוקה של קטע ביחס כלשהו היא מאוד שימושית.

נפתח את הנוסחה למציאת נקודה E על הקטע AB כך ש- ${\rm {\frac {AE}{EB}}}=k$ שזה, כמובן שקול ל- ${\rm {AE}}=k\cdot {\rm {EB}}$ . כיון ש-A,B ו-E נמצאות כולן על אותו ישר נוכל לרשום גם:
${\overrightarrow {\rm {AE}}}=k{\overrightarrow {\rm {EB}}}$
וכאשר O היא ראשית הצירים, אנחנו יכולים לרשום:
${\overrightarrow {\rm {OE}}}-{\overrightarrow {\rm {OA}}}=k{\overrightarrow {\rm {OB}}}-k{\overrightarrow {\rm {OE}}}$
אחרי העברת אגפים וצמצום מגיעים לנוסחה:
${\overrightarrow {\rm {OE}}}={\frac {k}{k+1}}\cdot {\overrightarrow {\rm {OB}}}+{\frac {1}{k+1}}\cdot {\overrightarrow {\rm {OA}}}$
וכאשר עוברים להצגה אלגברית של הוקטורים הקואורדינאטות של E מתגלות מיד.

קטעים מקבילים

לעתים קרובות מגיעים לסיטואציה בתרגיל חישובי או בהוכחה גאומטרית, בה יש צורך להוכיח ששני קטעים מקבילים זה לזה. בעזרת וקטורים והצגתם האלגברית ניתן לעשות זאת בקלות ובפשטות.

ידוע לנו מהפרק על כפל בסקלר שכאשר כופלים וקטור במספר ממשי, כיוונו לא משתנה אלא רק גודלו. כלומר, וקטורים הנבדלים זה מזה רק בכפל במספר ממשי כלשהו (שונה מאפס) מקבילים זה לזה.

שימו לב שגם הטענה ההפוכה נכונה, וקטורים מקבילים (שיש להם את אותו ה"כיוון") נבדלים זה מזה בקבוע.

הערה חשובה! כפל במספר שלילי אמנם "הופך" את כיוון החץ של הוקטור ב-180°, אך הוא עדיין מקביל לוקטור המקורי!

באופן כללי, אם ברצוננו להוכיח שהוקטור ${\overrightarrow {\rm {AB}}}$ מקביל לוקטור ${\overrightarrow {\rm {CD}}}$ עלינו להראות שקיים מספר ממשי כלשהו, t כך שמתקיים:
${\overrightarrow {\rm {AB}}}=t{\overrightarrow {\rm {CD}}}$

כאשר הוקטורים נתונים בצורה אלגברית קל מאוד לבצע את הבדיקה הזו בעזרת הכלל להשוואת וקטורים והגדרת הכפל בסקלר. נביא דוגמאות:

דוגמאות

• יהיו הוקטורים:

${\rm {{\vec {u}}=(1,1,-2)}}$
${\rm {{\vec {v}}=(-4,-4,8)}}$
הוכח שהוקטורים הנ"ל מקבילים זה לזה.

פשוט מאוד, ננסה למצוא $t$ שעבורו מתקיים:
${\rm {\vec {u}}}=t{\rm {\vec {v}}}$
כלומר, למצוא $t$ כך ש:

${\begin{matrix}1&=&-4t\\1&=&-4t\\-2&=&8t\end{matrix}}$

מפתרון שלוש המשוואות הללו אנו מקבלים ש- $t=-0.25$ כלומר, הוקטורים מקבילים.

שימו לב: לולא היינו מצליחים למצוא t עבורו כל שלוש המשוואות מתקיימות (כלומר, לא היה פתרון), היינו יודעים שהוקטורים לא מקבילים.