מתמטיקה תיכונית/וקטורים/קומבינציות ליניאריות ותלות בין וקטורים

כולנו מכירים את המספרים הטבעיים, 1, 2, 3... וכו'. אנחנו יודעים לדוגמה שניתן להביע את המספר 5 כ- 2+3 וגם כ- 4+1 וגם כ- 5+0. בוקטורים קורה משהו דומה (אמנם, מעט שונה). אם פתרתם בעבר תרגילים מהנושאים הקודמים, כבר בטח שמתם לב שניתן להביע חלק מהוקטורים בעזרת וקטורים אחרים, כלומר, ראיתם שייתכן שיש וקטור אחד שהוא סכום או "קומבינציה" כלשהי של סכומים של מספר וקטורים אחרים.

בפרק זה, אנחנו נלמד (בצורה מצומצמת, במסגרת החומר לבגרות) את מהות הקשר בין הוקטורים ואת המשמעות של "קומבינציה לינארית" וכן גם על תלות של וקטור אחד בוקטורים אחרים.

קומבינציות לינאריות

נדגים את הרעיון באמצעות שני וקטורים ${\rm {\vec {u}}}$ ו- ${\rm {\vec {v}}}$ . קומבינציה לינארית של שני הוקטורים לעיל, הוא כל וקטור מהצורה:

$t_{1}{\rm {\vec {u}}}+t_{2}{\rm {\vec {v}}}$ כאשר $t_{1}$ ו- $t_{2}$ מספרים ממשיים כלשהם.

נכליל את הרעיון, קומבינציה לינארית של כל קבוצה מסוימת של וקטורים ${\rm {{\vec {v}}_{1},{\vec {v}}_{2},\ldots ,{\vec {v}}_{n}}}$ הוא וקטור מהצורה:

$a_{1}{\rm {{\vec {v}}_{1}}}+a_{2}{\rm {{\vec {v}}_{2}}}+a_{3}{\rm {{\vec {v}}_{3}}}+\cdots +a_{n}{\rm {{\vec {v}}_{n}}}$

כאשר $a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n}$ מספרים ממשיים כלשהם.

בפרק זה נעסוק רק בקומבינציות לינאריות של מספר סופי של וקטורים וסביר שלא יופיעו קומבינציות לינאריות של יותר מארבעה וקטורים.

תלות לינארית

אחרי שראינו שניתן לבנות וקטורים בעזרת קומבינציות לינאריות, נשאלת השאלה, אם יש לי קבוצה מסוימת של וקטורים, האם אני יכול\ה להביע אחד מהם כקומבינציה לינארית של כל השאר? התשובה היא, תלוי (תרתי משמע). ראשית נגדיר תלות לינארית וניראה שבעצם, התשובה היא "כן" כאשר הוקטורים הם תלויים לינארית ו"לא" כאשר הם לא.

הגדרה 1: תלות לינארית קבוצה מסוימת של וקטורים ${\rm {{\vec {v}}_{1},{\vec {v}}_{2},\ldots ,{\vec {v}}_{n}}}$ תיקרא "תלויה לינארית", אם קיימים מספרים ממשיים $a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n}$ (שלא כולם 0) כאשר: $a_{1}{\rm {{\vec {v}}_{1}}}+a_{2}{\rm {{\vec {v}}_{2}}}+a_{3}{\rm {{\vec {v}}_{3}}}+\cdots +a_{n}{\rm {{\vec {v}}_{n}}}={\vec {0}}$ אם לא, היא תיקרא "בלתי-תלויה לינארית" ונאמר ש"אין תלות בין הוקטורים".

כדאי לדעת: כל וקטור תלוי בוקטור ה- ${\vec {0}}$ . תוכלו למצוא הוכחה לכך?

כאמור, אם הוקטורים תלויים לינארית, ניתן למצוא קומבינציה שלהם ששווה לוקטור ה- ${\vec {0}}$ . אחרי העברת אגפים של אחד הוקטורים וצמצום במספר הממשי המתאים, נגלה שקיבלנו ביטוי של הוקטור כקומבינציה לינארית של כל השאר.

קומביצניות לינאריות של וקטורים ישחקו תפקיד רחב כשנדבר על מישורים וישרים במישור ובמרחב.

בסיס

המושג המקיף של בסיס לוקטורים (בתחום במתמטיקה בשם אלגברה לינארית בו חוקרים את הוקטורים ואת התכונות שלהם, נהוג לומר "בסיס של מרחב וקטורי") חורג מהתחום של המתמטיקה התיכונית. אנחנו נדון באופן מאוד בסיסי ולא מורחב כלל במושג "בסיס" ובעיקר נסביר אותו בצורה אינטואיטיבית.

הקדמה

ראינו שיש וקטורים שתלויים בוקטורים אחרים ולכן ניתן להביע אותם כקומבינציה לינארית שלהם. אך, האם יש קבוצה קטנה של וקטורים שבעזרתם ניתן להביע את כל הוקטורים? ואם כן, כמה וקטורים יש בקבוצה הזו?

המושג של בסיס פותר את הבעיה הזו. בסיס, הוא הקבוצה הקטנה ביותר של וקטורים כך שכל וקטור יכול להרשם כקומבינציה לינארית שלהם. בנוסף, מספר הוקטורים שנמצאים בבסיס הוא קבוע ונקרא ה"ממד".

כפי שניתן לראות (אולי לא בקלות, אבל ניתן) יכולים להיות מספר בסיסים לאותו המרחב (ב"מרחב" הכוונה יכולה להיות גם למישור ולישר, הנושא יתבהר בהמשך).

בסיס למישור

כאשר אנחנו מדברים על מישור ה-xy ה"רגיל" שלנו (על מישורים במרחב והממד שלהם נדבר בהרחבה בפרק על הצגה פרמטרית של מישור במרחב) אנחנו יודעים מבחינת אינטואטיבית שכביכול ה"ממד" שלו הוא 2. כפי שניתן לגלות, ההגדרה של ממד כפי שאנחנו מכירים אותה בצורה אינטואטיבית מתלכדת עם ההגדרה שלמדנו למעלה. כלומר, בכל בסיס של מישור ה-xy יש 2 וקטורים שבעזרתם ניתן להביע את כל שאר הוקטורים. נראה דוגמאות.

דוגמאות

• הוקטורים $(0,1)$ ו- $(1,0)$ הם בסיס למישור (בסיס זה נקרא הבסיס הסטנדרטי של המישור).
• הוקטורים $(3,4)$ ו- $(2,1)$ הם גם בסיס למישור.
• הוקטורים $(1,-1)$ ו- $(1,-3)$ הם גם דוגמה לבסיס של המישור.

אתגר: נסו להראות שניתן להביע כל וקטור במישור כקומבינציה לינארית של הבסיסים למעלה (עבור כל בסיס בנפרד, כמובן). טיפ: התחילו עם וקטור כלשהו $(x,y)$ וראו כיצד הוא קומבינציה לינארית של שני הוקטורים.

בסיס למרחב

גם לגבי ה"ממד" של המרחב יש לנו ידע אינטואיטיבי, הרי ברור שהמרחב הוא תלת-ממדי (כלומר, הממד שלו הוא 3). ולכן, באמת, מספר הוקטורים בכל בסיס של המרחב הוא 3. נראה כעת מספר דוגמאות לבסיסים של המרחב.

דוגמאות

• הוקטורים $(1,0,0)\ ,\ (0,1,0)\ ,\ (0,0,1)$ הם בסיס למרחב, בסיס זה גם נקרא הבסיס הסטנדרטי.
• הוקטורים $(1,0,-4)\ ,\ (0,2,1)\ ,\ (7,1,0)$ הם גם דוגמא לבסיס למרחב.

אתגר: נסו להראות שהבסיסים האלו הם אכן בסיסים ושאכן ניתן להביע כל וקטור במרחב בעזרתם. טיפ: קחו וקטור כללי במרחב $(x,y,z)$ ותראו כיצד ניתן להביע אותו כקומבינציה לינארית של כל אחד מהבסיסים למעלה.