מתמטיקה תיכונית/וקטורים/ישרים ומישורים במישור ובמרחב/משוואת המישור

כפי שראינו, במרחב, משוואות אלגבריות כמו $y=x-1$ לא מייצגות ישרים, בעצם, הן מייצגות מישורים. כלומר, במרחב ניתן לתאר את כל הנקודות על מישור מסויים באמצעות משוואה, בדיוק כפי שניתן לתאר ישר במישור באמצעות משוואה.

איך נראית משוואת מישור

הצורה הכללית של משוואת מישור היא $ax+by+cz+d=0$. לעתים גם מסמנים:

${\begin{matrix}\pi :&ax+by+cz+d&=&0\end{matrix}}$

כאשר $\pi$ הוא השם של המישור (בדיוק כפי שהאות $l$ מייצגת ישרים פרמטריים).

על המשמעות של הפרמטרים $a,b,c,d$ נדבר בהמשך בפרק על ניצבות.

דוגמאות

נביא דוגמאות למשוואות של מישורים:

• $3x+5y-z+2=0$ - קל לראות שלדוגמה, הנקודה: $(0,0,2)$ נמצאת על המישור הנ"ל.
• $x-y+z=0$ - ניתן לראות שהנקודות $(1,1,0)$ וכן $(0,0,0)$ נמצאות על מישור.
• $5x+y=0$ - שימו לב שכל נקודה מהצורה $(0,0,z)$ נמצאת על המישור.

מציאת נקודות על מישור

כאשר התעסקנו עם ישרים במישור והמשוואות שלהם, יכלנו למצוא נקודות על ידי הצבת אחד משיעורי הנקודה (הקואורדינטות) ולפתור משוואה פשוטה כדי למצוא את השיעור השני.

במשוואות מישור הטכניקה זהה, כאשר נתונים לנו שני קוארדינטות של נקודה במרחב, וידוע לנו שאותה נקודה נמצאת על מישור מסוים, נוכל להציב את 2 השיעורים ולפתור משוואה כדי למצוא את השיעור השלישי.

יצירת משוואת מישור באמצעות שלוש נקודות שעל המישור

כשם שהיה ניתן למצוא משוואת ישר שעובר דרך שתי נקודות במישור, ניתן לעשות משהו דומה במישורים במרחב. בהינתן שלוש נקודות במרחב, שהן אינן על ישר אחד, אנו יכולים למצוא את משוואת המישור שעובר דרך שלושתן.

הטכניקה היא כזו, דבר ראשון, רושמים את המשוואה הכללית: $ax+by+cz+d=0$. כעת, מציבים במישור את שלוש הנקודות הנתונות כדי לקבל 3 משוואות, כך שהנעלמים במשוואות אלה הם הפרמטרים $a,b,c,d$. מתעוררת כביכול בעיה, יש לנו שלוש משוואות וארבעה נעלמים, איך נפתור? התשובה היא פשוטה, אחד הנעלמים הוא "מיותר", הוא נקרא משתנה חפשי וניתן לקבוע אותו להיות איזה מספר שנרצה. כל פעם שנצטרך לפתור את המשוואות האלו נבחר את המשתנה שיהיה לנו הכי נוח להחליף במספר ונבחר במספר הכי נוח כדי לקבל משתנים נוחים (חוץ מ- $0$, המספר היחידי שרצוי להמנע ממנו לעתים קרובות בטכניקה הזו). נשמע מבלבל? אל דאגה, מיד נדגים.

דוגמאות

• אנחנו מעונינים למצוא את משוואת המישור שעובר דרך שלושת הנקודות $(1,0,0)$, $(1,0,1)$ ו- $(0,1,3)$.

נסמן:

${\begin{matrix}\pi :&ax+by+cz+d&=&0\end{matrix}}$

נציב את שלוש הנקודות ונקבל את המשוואות:

${\begin{matrix}a+d&=&0\\a+c+d&=&0\\b+3c+d&=&0\end{matrix}}$

נחליט על $d$ להיות המשתנה החפשי שלנו. כלומר, מרגע זה אנחנו נביע את כל שאר המשתנים באמצעות $d$. (באותו אופן יכולנו לבחור בכל אחד מהמשתנים האחרים, זה עניין של נוחות וזה תלוי במשוואות שנוצרות).

מהמשוואה הראשונה אנחנו נקבל:

${\begin{matrix}a&=&-d\end{matrix}}$

נציב במשוואה השנייה, ונקבל:

${\begin{matrix}c&=&0\end{matrix}}$

נציב את שתי התוצאות האחרונות במשוואה השלישית ונקבל:

${\begin{matrix}b&=&-d\end{matrix}}$

כעת ניתן לבחור ב- $d$ כרצוננו (רק לא $0$). נבחר ב- $d=-1$ ונקבל שמשוואת המישור שלנו היא:

${\begin{matrix}\pi :&x+y-1&=&0\end{matrix}}$

ייצוג של משוואת מישור באמצעות מכפלה סקלרית

שקלו לדלג על נושא זה אנחנו נדבר בהרחבה על שיטת סימון זו למישורים כשנדבר על ניצבות, אין סיבה למהר. אנו מסבירים את החומר כאן רק בגלל שצורת הסימון הזו נהוגה בדף הנוסחאות של מבחן הבגרות.

נתחיל בדוגמה. נתון לנו הוקטור $(1,2,3)$, אנחנו מחפשים את כל הוקטורים, כך שמתקיים:

$(1,2,3)\cdot (x,y,z)=-1$

נפתח את הביטוי לפי חוקי המכפלה הסקלרית:

${\begin{matrix}x+2y+3z&=&-1\end{matrix}}$

ובעצם, קיבלנו מישור. באופן כללי בהינתן וקטור כלשהו $(a,b,c)$, אוסף כל הוקטורים $(x,y,z)$ שמקיימים:

$(x,y,z)\cdot (a,b,c)=d$

מסתיימים על מישור, כיון שמהמשוואה למעלה מתקבל המישור:

${\begin{matrix}ax+by+cz&=&d\end{matrix}}$