מתמטיקה תיכונית/וקטורים/ישרים ומישורים במישור ובמרחב/וקטורים שראשיתם בנקודה אחת וסופם על מישור

מתוך ויקיספר, אוסף הספרים והמדריכים החופשי
קפיצה לניווט קפיצה לחיפוש

גם הפרק הזה הוא קצר ונועד בעיקר כהקדמה לפני שמתחילים את לעבוד על הצגות פרמטריות. באופן כללי, החומר בפרק הזה הינו יחסית שולי ואם קרה ולא הבנתם את הטענה ניתן בקלות לחזור עליו לקראת ההכנה לבחינה.

כפי שלמדנו על התכונות המעניינות שיש לשלושה וקטורים שמוצאם בנקודה משותפת והם מסתיימים על ישר, בפרק זה נלמד על התכונות המעניינות שיש לארבעה וקטורים בעלי ראשית משותפת ושהם מסתיימים על מישור.

הטענה[עריכה]

בלי הסברים מיותרים נגיע לטענה המרכזית של הפרק:


טענה 1: ארבעה וקטורים בעלי ראשית משותפת ושמסתיימים על מישור

בהינתן חמש נקודות (הנקודה היא לא בהכרח הראשית). אם הוקטורים ו- מסתיימים על אותו המישור, אז מתקיים:

וגם .

הוכחה[עריכה]

Edit-undo.svg

שקול לדלג על נושא זה

מומלץ לשקול לדלג על נושא זה בפעם הראשונה בה נתקלים בו, ולחזור אליו רק לאחר מעבר כללי על כל הספר.




הוכחה: הוקטורים הם בלתי-תלויים, לכן ניתן לרשום

עבור מספרים ממשיים כלשהם.

כיון ש- על אותו המישור ניתן לרשום:

מחיבור וחיסור של וקטורים ידוע לנו שניתן לרשום את המשוואה למעלה כ:

נחליף את הוקטור OD בקומבינציה לינארית של הוקטורים האחרים, כפי שרשום למעלה, ונקבל:

נצרף ביטויים זהים ונעביר אגפים ונקבל:

כיון שהוקטורים הם בלתי-תלויים, מקבלים את שלושת המשוואות:

פתירה של שלושת המשוואות מובילה לתוצאה .

מש"ל.PNG


אתגר:

אל תיקחו את המילה שלנו בנוגע לזה. בידקו בעצמכם! הראו שמשלוש המשוואות ניתן להגיע ל- .