מתמטיקה תיכונית/וקטורים/ישרים ומישורים במישור ובמרחב/וקטורים שראשיתם בנקודה אחת וסופם על ישר

מתוך ויקיספר, אוסף הספרים והמדריכים החופשי
קפיצה לניווט קפיצה לחיפוש

פרק זה הוא קצר ולעניין, אנחנו נדון בתכונות המעניינות והשימושיות שיש לשלושה וקטורים (או יותר) שראשיתם בנקודה אחת וסופם על ישר ולאחר מכן נוכיח טענת מפתח שתעזור לנו בהוכחות וחישובים מאוחרים יותר.

שלושה וקטורים שסופם על ישר אחד[עריכה]

דוגמה לשלושה וקטורים במישור שמוצאם משותף (ראשית הצירים) וסופם על ישר

יהיו הנקודות שלוש נקודות (במישור, במרחב או במרחב ־ממדי כלשהו). ניקח את להיות נקודת המוצא המשותפת של הוקטורים שכולם מסתיימים על ישר אחד. כלומר, הנקודות נמצאות על אותו ישר.


טענה 1: וקטורים שמוצאם בנקודה אחת וסופם על ישר

נקודה כלשהיא, הוקטורים מסתיימים על ישר אם ורק אם קיימים מספרים ממשיים עבורם:

חלוקה למקרים[עריכה]

כעת נבחן באמצעות שהופיעו בטענה למעלה, את מיקום הנקודה ביחס לנקודות .

אם וגם  
הנקודה נמצאת בין הנקודה לנקודה .
אם וגם  
הנקודה נמצאת על הישר "אחרי" הנקודה .
אם וגם  
הנקודה נמצאת על הישר "אחרי" הנקודה .

שינון הטענה והחלוקה למקרים יכול להועיל בשאלות ספציפיות שונות ולעתים גם להועיל בהוכחות גאומטריות. את ההוכחה של הטענה והמקרים השונים ניתן למצוא בסעיף למטה.

הוכחות[עריכה]

Edit-undo.svg

שקול לדלג על נושא זה

ההוכחות בחלק זה אינן נדרשות לבחינת הבגרות וחלקן מכילות טענות ונוסחאות שנלמד רק בפרקים הבאים. רצוי לקרוא את ההוכחות בחלק זה אחרי שמסיימים לקרוא את כל הספר כדי לקבל מבט מעמיק על הוכחות עם וקטורים.




הוכחה: נוכיח את הכיוון הראשון. הוקטור נמצא במישור הנפרש על־ידי . לכן קיימים מספרים ממשיים עבורם מתקיים:

כמו כן, הנקודות נמצאות על אותו ישר. לכן קיים מספר ממשי עבורו מתקיים:

נפרק כל וקטור במשוואה למעלה לחיסור בין שני וקטורים, ונקבל:

כיוון שהוקטורים הם בלתי־תלויים, אנחנו מקבלים את מערכת המשוואות:


מש"ל.PNG