מתמטיקה תיכונית/וקטורים/ישרים ומישורים במישור ובמרחב/וקטורים שראשיתם בנקודה אחת וסופם על ישר

פרק זה הוא קצר ולעניין, אנחנו נדון בתכונות המעניינות והשימושיות שיש לשלושה וקטורים (או יותר) שראשיתם בנקודה אחת וסופם על ישר ולאחר מכן נוכיח טענת מפתח שתעזור לנו בהוכחות וחישובים מאוחרים יותר.

שלושה וקטורים שסופם על ישר אחד

דוגמה לשלושה וקטורים במישור שמוצאם משותף (ראשית הצירים) וסופם על ישר

יהיו $A,B,C$ נקודות שונות במישור, במרחב או במרחב $n$־ממדי כלשהו, ותהי $O$ נקודה על המישור הנקבע על ידי הנקודות $A,B,C$ השונה מכל אחת משלושת הנקודות.

טענה 1: וקטורים שמוצאם בנקודה אחת וסופם על ישר הוקטורים ${\overrightarrow {OA}},{\overrightarrow {OB}},{\overrightarrow {OC}}$ שמוצאם בנקודה המשותפת $O$, מסתיימים על ישר משותף אם ורק אם קיימים מספרים ממשיים $t_{1},t_{2}$ עבורם: $${\begin{cases}{\overrightarrow {OB}}=t_{1}{\overrightarrow {OA}}+t_{2}{\overrightarrow {OC}}\\t_{1}+t_{2}=1\end{cases}}$$

הוכחות

שקלו לדלג על נושא זה ההוכחות בחלק זה אינן נדרשות לבחינת הבגרות וחלקן מכילות טענות ונוסחאות שנלמד רק בפרקים הבאים. רצוי לקרוא את ההוכחות בחלק זה אחרי שמסיימים לקרוא את כל הספר כדי לקבל מבט מעמיק על הוכחות עם וקטורים.

הוכחה: נוכיח את הכיוון הראשון. נניח שהווקטורים ${\overrightarrow {OA}},{\overrightarrow {OB}},{\overrightarrow {OC}}$ מסתיימים על ישר משותף. הוקטור ${\overrightarrow {OB}}$ נמצא במישור הנפרש על־ידי ${\overrightarrow {OA}},{\overrightarrow {OC}}$ . לכן קיימים מספרים ממשיים $t_{1},t_{2}$ עבורם מתקיים:

${\overrightarrow {OB}}=t_{1}{\overrightarrow {OA}}+t_{2}{\overrightarrow {OC}}$

כמו כן, הנקודות $A,B,C$ נמצאות על אותו ישר. לכן קיים מספר ממשי $t$ עבורו מתקיים:

${\overrightarrow {AC}}=t{\overrightarrow {AB}}$

נפרק כל וקטור במשוואה למעלה לחיסור בין שני וקטורים, ונקבל:

${\begin{aligned}{\overrightarrow {OC}}-{\overrightarrow {OA}}&=t{\overrightarrow {OB}}-t{\overrightarrow {OA}}\\&={\bigl (}(t\cdot t_{1}){\overrightarrow {OA}}+(t\cdot t_{2}){\overrightarrow {OC}}{\bigr )}-t{\overrightarrow {OA}}\\(t\cdot t_{1}-t+1){\overrightarrow {OA}}&+(t\cdot t_{2}-1){\overrightarrow {OC}}={\vec {0}}\end{aligned}}$

כיוון שהוקטורים ${\overrightarrow {OA}},{\overrightarrow {OC}}$ הם בלתי־תלויים, אנחנו מקבלים את מערכת המשוואות:

${\begin{aligned}t\cdot t_{2}-1&=0\\t\cdot t_{1}-t+1&=0\\\end{aligned}}$

ולכן:

${\begin{aligned}t\cdot t_{1}-t+t\cdot t_{2}&=0\\t\cdot (t_{1}+t_{2}-1)&=0\end{aligned}}$

וכיוון ש-$t\neq 0$ מתקיים:

${\begin{aligned}t_{1}+t_{2}=1\end{aligned}}$

בכיוון השני. אם קיימים מספרים ממשיים $t_{1},t_{2}$ עבורם:

$${\begin{cases}{\overrightarrow {OB}}=t_{1}{\overrightarrow {OA}}+t_{2}{\overrightarrow {OC}}\\t_{1}+t_{2}=1\end{cases}}$$

אז:

$${\begin{aligned}{\overrightarrow {AB}}&={\overrightarrow {OB}}-{\overrightarrow {OA}}\\&=t_{1}{\overrightarrow {OA}}+t_{2}{\overrightarrow {OC}}-{\overrightarrow {OA}}\\&=(t_{1}-1){\overrightarrow {OA}}+t_{2}{\overrightarrow {OC}}\\&=-t_{2}{\overrightarrow {OA}}+t_{2}{\overrightarrow {OC}}\\&=t_{2}({\overrightarrow {OC}}-{\overrightarrow {OA}})\\&=t_{2}{\overrightarrow {AC}}\end{aligned}}$$

כלומר,${\overrightarrow {AB}},{\overrightarrow {AC}}$ תלויים לינארית ולכן נמצאים על אותו ישר.

טענה 2: יחס החלוקה הפוך ליחס ההוקטורים התנאי $${\begin{cases}{\overrightarrow {OB}}=t_{1}{\overrightarrow {OA}}+t_{2}{\overrightarrow {OC}}\\t_{1}+t_{2}=1\end{cases}}$$ שקול לתנאים $${\begin{cases}{\overrightarrow {AB}}=t_{2}{\overrightarrow {AC}}\\{\overrightarrow {BC}}=t_{1}{\overrightarrow {AC}}\end{cases}}$$

שימו לב: מכיוון שוקטורים בכיוונים נגדיים מתקבלים על ידי כפל בסקלר שלילי. אם הנקודה $B$ נמצאת בין הנקודה $C$ לנקודה $A$, אז $t_{1}>0$ וגם $t_{2}>0$ אם הנקודה $B$ נמצאת על הישר "אחרי" הנקודה $A$, אז $t_{1}>0$ וגם $t_{2}<0$ אם הנקודה $B$ נמצאת על הישר "אחרי" הנקודה $C$, אז $t_{1}<0$ וגם $t_{2}>0$.

הוכחה: בכיוון אחד, $${\begin{aligned}{\overrightarrow {AB}}&={\overrightarrow {OB}}-{\overrightarrow {OA}}\\&=t_{1}{\overrightarrow {OA}}+t_{2}{\overrightarrow {OC}}-{\overrightarrow {OA}}\\&=(t_{1}-1){\overrightarrow {OA}}+t_{2}{\overrightarrow {OC}}\\&=-t_{2}{\overrightarrow {OA}}+t_{2}{\overrightarrow {OC}}\\&=t_{2}({\overrightarrow {OC}}-{\overrightarrow {OA}})\\&=t_{2}{\overrightarrow {AC}}\end{aligned}}$$ כמו כן, $${\begin{aligned}{\overrightarrow {BC}}&={\overrightarrow {AC}}-{\overrightarrow {AB}}\\&={\overrightarrow {AC}}-t_{2}{\overrightarrow {AC}}\\&=(1-t_{2}){\overrightarrow {AC}}\\&=t_{1}{\overrightarrow {AC}}\end{aligned}}$$ בכיוון השני, ראשית מחיבור שתי המשוואות נקבל $${\overrightarrow {AB}}+{\overrightarrow {BC}}=t_{1}{\overrightarrow {AC}}+t_{2}{\overrightarrow {AC}}$$ ומכאן $${\overrightarrow {AC}}=(t_{1}+t_{2}){\overrightarrow {AC}}$$ ולכן $$1=t_{1}+t_{2}$$ בנוסף, $${\begin{aligned}{\overrightarrow {OB}}&={\overrightarrow {OA}}+{\overrightarrow {AB}}\\&={\overrightarrow {OA}}+t_{2}{\overrightarrow {AC}}\\&={\overrightarrow {OA}}+t_{2}({\overrightarrow {OC}}-{\overrightarrow {OA}})\\&={\overrightarrow {OA}}+t_{2}{\overrightarrow {OC}}-t_{2}{\overrightarrow {OA}}\\&=(1-t_{2}){\overrightarrow {OA}}+t_{2}{\overrightarrow {OC}}\\&=t_{1}{\overrightarrow {OA}}+t_{2}{\overrightarrow {OC}}\end{aligned}}$$