מתמטיקה תיכונית/וקטורים/חישובי זוויות

הזוית בין שני ישרים

נניח שאנחנו רוצים למצוא את הזוית בין הישרים $L_{1}:{\vec {x}}={\vec {a}}+t{\vec {v}}$ ו- $L_{2}:{\vec {x}}={\vec {b}}+t{\vec {u}}$ . אם הישרים מתלכדים או מקבילים הזוית ביניהם היא כמובן $0^{\circ }$ . אם הישרים מצטלבים, הזוית ביניהם היא הזוית שבין אחד מהם לישר המקביל לשני וחותך את הראשון. הנוסחה לזוית היא $\cos(\alpha )={\frac {{\vec {u}}\cdot {\vec {v}}}{|{\vec {u}}|\cdot |{\vec {v}}|}}$. הסיבה לכך היא שהזוית בין וקטורי הכיוון של הישרים היא גם הזוית ביניהם, ולכן הנוסחה נובעת מהגדרת המכפלה הסקלרית (אם מכפילים ב- $|{\vec {u}}|\cdot |{\vec {v}}|$ מקבלים את ההגדרה).

זוית בין ישר למישור

אם המישור נתון בהצגה פרמטרית יש להעביר אותו תחילה להצגה כמשוואה. לאחר מכן, אם הישר הוא ${\vec {x}}={\vec {a}}+t{\vec {v}}$ והמישור הוא ${\vec {b}}\cdot {\vec {x}}+d=0$ אז הנוסחה היא $\sin(\alpha )={\frac {{\vec {b}}\cdot {\vec {v}}}{|{\vec {b}}|\cdot |{\vec {v}}|}}$ .

ולמה? ניזכר בכך ש- ${\vec {b}}$ הוא בעצם אנך למישור. לכן, אם נשתמש בנוסחה של הסעיף הקודם נקבל את הזוית בין הישר לישר המאונך למישור. אך אנחנו רוצים את הזוית למישור עצמו, ולכן צריך את המשלימה ל- $90^{\circ }$ . כיון שמתקיים $\sin(\alpha )=\cos(90^{\circ }-\alpha )$ , אפשר להשתמש בנוסחה של הפסקה הקודמת ולהחליף את הקוסינוס בסינוס.

זוית בין שני מישורים

גם כאן מעבירים את שניהם למשוואה. עכשיו נשים לב, שהזוית ביניהם שווה לזוית בין אנכיהם, מכיוון שבין האנכים למישורים יווצר מרובע בו שתי זוויות שוות 90 (בזוויות שנוצרו מהאנכים) ועוד 2 זוויות שחייבות להשלים ל180, לכן הזווית שבין המישורים תהיה שווה ל90 פחות הזווית שבין האנכים. מיד יש לשים לב איזה זווית קיבלנו על מנת לדעת אם מדובר בזווית או ב90 מינוס הזווית (תלוי מה החדה מבינהם). ולכן אם המישורים הם ${\vec {a}}\cdot {\vec {x}}+d=0$ ו- ${\vec {b}}\cdot {\vec {x}}+e=0$ אז הנוסחה היא $\cos(\alpha )={\frac {{\vec {a}}\cdot {\vec {b}}}{|{\vec {a}}|\cdot |{\vec {b}}|}}$ .