מתמטיקה תיכונית/וקטורים/הוקטור הגיאומטרי

מתוך ויקיספר
קפיצה אל: ניווט, חיפוש

רענון -קטע[עריכה]

  • קטע : אוסף של נקודות על ישר אשר נמצאות בין שתי נקודות שונות (נקודות הקצה). ישנם סוגים שונים של קטעים : קטע פתוח, קטע סגור ועוד.
  • רישום קטע בשפה המתמטית : AB (כאשר A,B הן נקודות הקצה).
  • אורך קטע  : |AB|.

משמעות הוקטור הגאומטרי[עריכה]

וקטור מ-A ל-B

הגדרה : וקטור - קטע עם כיוון.

לכל ווקטור יש נקודת התחלה ונקודת סוף (אלו הן בעצם נקודות הקצה של הקטע). לכן, למרות שאין הבדל בין הקטעים AB וBA (זהו אותו הקטע בדיוק), יש הבדל בין הווקטור שנקודת ההתחלה שלו היא A ונקודת הסוף שלו היא B, לבין הווקטור שנקודת ההתחלה שלו היא B ונקודת הסוף שלו היא A.


באופן אינטואטיבי, ניתן לחשוב על ווקטור כעל כביש (או דרך) שעליו נוסעת מכונית בקו ישר, הנעה מאיזור A לאיזור B. יש חשיבות לכיוון שבו היא נעה, (כלומר, מאיפה היא יצאה ולאן היא נוסעת) וכן לקטע שבו היא נסעה, AB, הדרך של הנסיעה.

סימון[עריכה]

ישנם מספר דרכים לסמן ווקטור גיאומטרי. כאשר רוצים לסמן את הווקטור שנקודת ההתחלה שלו נמצאת בA ונקודת הסוף B, רושמים זאת כך: \vec {AB}. החץ מסמל את "הכיוון" מA לB, ובכך ניתן להבדיל בין הווקטור AB לקטע AB.


נחזור להסבר האינטואטיבי של ההגדרה: אם נרצה לסמן את "הקטע+כיוון הנסיעה" (הוקטור) של מכונית הנוסעת מאיזור A לאיזור B (כפי שמצוייר בתמונה), הסימון יתבצע כך : \vec {AB}.
אולם, אם נרצה לסמן את דרך החזרה של המכונית (הכיוון שונה : מאיזור B לאיזור A), הסימון יתבצע כך : \vec {BA}

כמו כן, ניתן לסמן וקטור באמצעות אותיות קטנות ומתחתן קו. כלומר, הוקטור בתמונה יסומן כך : \underline a או כך  \vec{a} .

אורך וקטור[עריכה]

האורך של הווקטור יסומן בעזרת שני קווים מקבילים לצידי הווקטור, כך לדוגמה מסומן האורך של הווקטור שנקודת ההתחלה שלו היא בA ונקודת הסוף שלו היא B: |\vec {AB}|

וכן, כך אפשר גם לסמן אורך של ווקטור המסומן בעזרת קו תחתי: | \underline a |


בפרקים מתקדמים יותר נדבר יותר על מושג האורך של הווקטור, כיצד מחשבים אותו ואיך ניתן להשתמש בו לחישובים שונים במישור ובמרחב.

השוואה בין וקטורים[עריכה]

שני וקטורים שווים זה לזה אם מתקיימים התנאים הבאים:

  1. שני הווקטורים נמצאים באותו הכיוון.
  2. האורך של שני הווקטורים זהה.

פעולות שאינן משנות את הוקטור[עריכה]

את הווקטור הגיאומטרי ניתן להזיז כל עוד שומרים על הגודל והכיוון שלו ללא שינוי. במילים אחרות, לוקטור הגיאומטרי אין מערכת צירים.

קימות שתי פעולות שאינן משנות את הוקטור:

  1. הזזת הוקטור לאורך ישר.
  2. הזזת הוקטור במקביל לישר עליו הוא מונח (כפי שניתן לראות בתמונה של המקבילית).


שימו לב:

פעולות כמו סיבוב של הווקטור ומתיחה (או כיווץ) שלו משנות את כיוונו ואת גודלו (בהתאמה) ולכן הווקטור שנוצר אחרי סיבוב או מתיחה שונה מהווקטור שהתחלנו איתו!

דוגמאות[עריכה]


\begin{align}
&\vec{AB}=\vec{DC}=\vec{EF}=\vec {HG} \\
&\vec{AE}=\vec{BF}=\vec{DH}=\vec{CG}\\
&\vec{AD}=\vec{BC}=\vec{EH}=\vec{FG}\\
&\vec{AH}=\vec{BG}\\
&\vec{AF}=\vec{DG}\\
\end{align}
ווקטורים השווים זה לזה בקוביה





















התלכדות וקטורים[עריכה]

ממש כמו בקטעים, גם וקטורים יכולים להתלכד. בתמונה, וקטור \hat a מתלכד עם וקטור \ \bar a. כלומר, כיוונם זהה אך גודלם לא.

וקטור האפס[עריכה]

וקטור אפס - כאשר נקודות הקצה של הוקטור מתלכדות לידי נקודה אחת. כלומר, אורך וקטור זה הוא אפס ואין לו כיוון (נסו לדמיין למה זה ככה בעזרת הזזה של נקודה דמיונית במרחב) . ניתן לסמן וקטור זה על ידי נקודה או באמצעות אפס ותחתיו קו : \vec {AB} =\underline 0 (כאשר A,B הן נקודות הקצה).

חיבור של וקטורים גיאומטריים[עריכה]

חיבור של וקטורים גיאומטריים נעשה בעזרת כלל המקבילית או בעזרת כלל המשולש.

הגדרה[עריכה]

משמאל:חיבור לפי כלל המקבילית; מימין:לפי כלל המשולש


יהיו הנקודות A,B,C,D , נסמן את הוקטורים:

 \underline u = \vec{AB}

\underline v =\vec{CD}


כלל המשולש[עריכה]

כדי לחבר וקטורים גאומטריים על פי כלל המשולש יש לעשות את הפעולות הבאות:

נזיז את הווקטור  \vec{CD} (מבלי לשנות את גודלו או כיוונו) כך שתחילתו, שהייתה קודם הנקודה C, תהיה ממוקמת בסופו של הווקטור  \vec{AB} (כלומר, בנקודה B).

נסמן את נקודת הסוף החדשה של הווקטור  \underline v כE. כעת, נגדיר את החיבור של הווקטורים  \underline u ו \underline v להיות:

 \underline u + \underline v = \vec{AE}

כלומר, ווקטור החיבור הוא הצלע השלישית במשולש שנוצר לנו על ידי הזזה של הווקטור CD לסופו של הווקטור AB.

כלל המקבילית[עריכה]

כדי לחבר וקטורים גאומטריים על פי כלל המקבילית יש לעשות את הפעולות הבאות:

נזיז את הווקטור  \underline v (שוב, מבלי לשנות את גודלו ואת כיוונו) כך שתחילתו תהיה בנקודת ההתחלה של הווקטור  \vec{AB} (כלומר, הנקודה A).

כעת קיבלנו שתי צלעות של מקבילית. נשלים את שתי הצלעות האחרות של המקבילית, ונגדיר את ווקטור החיבור של הווקטורים  \underline u ו  \underline v להיות הווקטור שמוצאו בA, וסופו בקודקוד שמולו במקבילית שיצרנו.

אמנם כלל המקבילית וכלל המשולש נראים שונים מאוד זה מזה, אך הווקטורים שנוצרים מחיבור בכל אחד מהכללים הם זהים!

נוכל להכליל בעזרת משפט הקוסינוסים חיבור וקטורים היוצאים מאותה נקודה \overrightarrow { a } +\overrightarrow { b } =\sqrt { { a }^{ 2 }+{ b }^{ 2 }-2ab\cos { 180-(a,b) }  } =\sqrt { { a }^{ 2 }+{ b }^{ 2 }+2ab\cos { (a,b) }  }

וקטורים נגדיים[עריכה]

הוקטור האדום הוא הנגדי של הוקטור הכחול, שימו לב לכיוונו המנוגד לa ולאורכו השווה לו.

כאשר הסכום של שני וקטורים גיאומטריים נותן את ווקטור האפס, אומרים שהווקטורים נגדיים. קל לראות שלכל וקטור יש נגדי ייחודי ושבאופן כללי מתקיים

\vec{AB}+\vec{BA}=\vec{AA}=\underline0


את הוקטור הנגדי של  \underline a מסמנים כ-  -\underline a .


סימון[עריכה]

אנחנו מסמנים חיבור של שני ווקטורים באותו אופן שבו אנחנו מסמנים חיבור של שני מספרים רגילים, אך אין להתבלבל ביניהם! אלו הם סוגים שונים של חיבור ולא ניתן לחבר וקטור עם מספר ממשי רגיל!

חיסור של שני וקטורים גיאומטריים[עריכה]

אחרי שדיברנו על וקטורים נגדיים ועל חיבור, הגיע הזמן להגדיר גם חיסור של שני וקטורים גיאומטריים.

נגדיר את החיסור של שני וקטורים גיאומטריים כחיבור של וקטור עם וקטור נגדי. כלומר, אם  \underline u ו \underline v הם שני וקטורים, אז:

 \underline u - \underline v = \underline u + \left(-\underline v \right)

כפל של וקטור גיאומטרי בסקלר[עריכה]

דוגמה למכפלה סקלרית של הוקטור a במספרים 1- (משמאל) ו2 (מימין)

באופן אינטואטיבי ניתן לחשוב על כפל בסקלר כעל "מתיחה" או "כיווץ" של הוקטור מבלי לשנות את כיוונו (יש לשים לב! מכפלה במספר שלילי "הופכת" את הכיוון של הוקטור, אבל הוא עדיין נותר על אותו הישר שבו הוא היה לפני כן. כלומר, אם מדמיינים את הוקטור כחץ במרחב או במישור, מכפלה של הוקטור במספר שלילי משנה ב180 מעלות את כיוון החץ).

מהו סקלר?[עריכה]

כאשר מדברים על וקטורים במישור או במרחב, סקלר הוא בעצם כל מספר ממשי. כאשר אנחנו מדברים על כפל בסקלר, אנחנו מתכוונים כפל של וקטור במספר ממשי רגיל.

הגדרה[עריכה]

המשמעות של כפל בסקלר: הוקטור הכחול a מוכפל ב3, הווקטור הנוצר הוא הוקטור האדום.

כפי שצויין קודם, המשמעות הגיאומטרית של כפל בסקלר היא שינוי אורכו של הווקטור.

כך לדוגמה, כפל של הווקטור  \vec{AB} בסקלר 3, ייצור וקטור חדש שכיוונו הוא בכיוונו של הוקטור AB, שמוצאו הוא A ושאורכו גדול פי 3 מאורכו של הווקטור AB.

סימון[עריכה]

כדי לסמן מכפלה של מספר ממשי כלשהו r בוקטור  \vec{AB} , רושמים:

 r\cdot\vec{AB}

כאשר נהוג לרשום את הסקלר (המספר הממשי) משמאל לוקטור.

לעיתים משמיטים את נקודת הכפל ופשוט רושמים:

 r\vec{AB}


הסימון זהה גם כאשר מסמנים באותיות לטיניות קטנות עם קו תחתי.


שימו לב:

*כפל בסקלר הוא לא מכפלה סקלרית. על מכפלה סקלרית נדבר בפרקים הבאים, אין להתבלבל בין שני סוגי הכפל השונים האלו!
  • כפל בסקלר הוא מכפלה של מספר ממשי ווקטור, לא של שני וקטורים. על מכפלות של שני ווקטורים נלמד בהמשך.
  • יש אנשים המגדירים כפל של וקטור בסקלר רק אם הסקלר משמאל לווקטור. לכן, לא מומלץ לקחת את הסיכון ולרשום בצורה שכזו בבגרות, במיוחד כשיש אפשרות שהבוחן או המורה שלכם לא יבין למה אתם מתכוונים.