מתמטיקה תיכונית/וקטורים/הוקטור הגיאומטרי

רענון - קטע

• קטע : אוסף של נקודות על ישר אשר נמצאות בין שתי נקודות שונות (נקודות הקצה). ישנם סוגים שונים של קטעים: קטע פתוח, קטע סגור ועוד.
• רישום קטע בשפה המתמטית: $AB$ (כאשר $A,B$ הן נקודות הקצה).
• אורך קטע : $|AB|$ .

משמעות הוקטור הגאומטרי

וקטור מ-$A$ ל-$B$

הגדרה: וקטור - קטע עם כיוון.

לכל וקטור יש נקודת התחלה ונקודת סוף (אלו הן בעצם נקודות הקצה של הקטע). לכן, למרות שאין הבדל בין הקטעים $AB,BA$ (זהו אותו הקטע בדיוק), יש הבדל בין הוקטור שנקודת ההתחלה שלו היא $A$ ונקודת הסוף שלו היא $B$ , לבין הוקטור שנקודת ההתחלה שלו היא $B$ ונקודת הסוף שלו היא $A$ .

באופן אינטואיטיבי, ניתן לחשוב על וקטור כעל כביש (או דרך) שעליו נוסעת מכונית בקו ישר, הנעה מאזור $A$ לאזור $B$ . יש חשיבות לכיוון שבו היא נעה, (כלומר, מאיפה היא יצאה ולאן היא נוסעת) וכן לקטע שבו היא נסעה, $AB$ , הדרך של הנסיעה.

סימון

ישנם מספר דרכים לסמן וקטור גאומטרי. כאשר רוצים לסמן את הוקטור שנקודת ההתחלה שלו $A$ ונקודת הסוף $B$ , רושמים זאת כך: ${\overrightarrow {AB}}$ . החץ מסמל את "הכיוון" מ-$A$ ל-$B$ , ובכך ניתן להבדיל בין הוקטור $AB$ לקטע $AB$ .

נחזור להסבר האינטואיטיבי של ההגדרה: אם נרצה לסמן את "הקטע+כיוון הנסיעה" (הוקטור) של מכונית הנוסעת מאזור $A$ לאזור $B$ (כמצויר בתמונה), הסימון יתבצע כך: ${\overrightarrow {AB}}$ .

אולם, אם נרצה לסמן את דרך החזרה של המכונית (הכיוון שונה: מאזור $B$ לאזור $A$), הסימון יתבצע כך: ${\overrightarrow {BA}}$

כמו כן, ניתן לסמן וקטור באמצעות אותיות קטנות ומתחתן קו. כלומר, הוקטור בתמונה יסומן כך: ${\underline {a}}$ או כך ${\vec {a}}$ .

אורך וקטור

האורך של הוקטור יסומן בעזרת שני קווים מקבילים לצדי הוקטור, כך לדוגמא מסומן האורך של הוקטור שנקודת ההתחלה שלו $A$ ונקודת הסוף שלו $B$ : $|{\overrightarrow {AB}}|$

וכן, כך אפשר גם לסמן אורך של וקטור המסומן בעזרת קו תחתי: $|{\underline {a}}|$

בפרקים מתקדמים יותר נדבר יותר על מושג האורך של הוקטור, כיצד מחשבים אותו ואיך ניתן להשתמש בו לחישובים שונים במישור ובמרחב.

השוואה בין וקטורים

וקטורים השווים זה לזה בקוביה ${\begin{aligned}&{\overrightarrow {AB}}={\overrightarrow {DC}}={\overrightarrow {EF}}={\overrightarrow {HG}}\\&{\overrightarrow {AE}}={\overrightarrow {BF}}={\overrightarrow {DH}}={\overrightarrow {CG}}\\&{\overrightarrow {AD}}={\overrightarrow {BC}}={\overrightarrow {EH}}={\overrightarrow {FG}}\\&{\overrightarrow {AH}}={\overrightarrow {BG}}\\&{\overrightarrow {AF}}={\overrightarrow {DG}}\\\end{aligned}}$

שני וקטורים שווים זה לזה אם מתקיימים התנאים הבאים:

1. שני הווקטורים נמצאים באותו הכיוון.
2. האורך של שני הוקטורים זהה.

פעולות שאינן משנות את הוקטור

את הוקטור הגאומטרי ניתן להזיז כל עוד שומרים על הגודל והכיוון שלו ללא שינוי. במילים אחרות, לוקטור הגאומטרי אין מערכת צירים.

קיימות שתי פעולות שאינן משנות את הוקטור:

1. הזזת הוקטור לאורך ישר.
2. הזזת הוקטור במקביל לישר עליו הוא מונח (כפי שניתן לראות בתמונה של המקבילית).

• 
  כפי שניתן לראות בכיתוב; הוקטורים אינם שווים - לא בגודל ולא בכיוון, ולכן, סומנו באותיות שונות
• 
  הזזה לאורך ישר - הוקטור הכחול נע לאורך הישר ושומר על גודלו וכיוונו
• 
  הזזה לישר מקביל

שימו לב: פעולות כמו סיבוב של הוקטור ומתיחה (או כיווץ) שלו משנות את כיוונו ואת גודלו (בהתאמה) ולכן הוקטור שנוצר אחרי סיבוב או מתיחה שונה מהוקטור שהתחלנו אתו!

התלכדות וקטורים

ממש כמו בקטעים, גם וקטורים יכולים להתלכד. בתמונה, וקטור ${\hat {a}}$ מתלכד עם וקטור ${\vec {a}}$ . כלומר כיוונם זהה אך גודלם לא.

וקטור האפס

וקטור אפס - כאשר נקודות הקצה של הוקטור מתלכדות לידי נקודה אחת. כלומר, אורך וקטור זה הוא אפס ואין לו כיוון (נסו לדמיין למה זה ככה בעזרת הזזה של נקודה דמיונית במרחב). ניתן לסמן וקטור זה על-ידי נקודה או באמצעות אפס ומעליו חץ או קו תחתיו: ${\overrightarrow {AB}}={\vec {0}}={\underline {0}}$ (כאשר $A,B$ הן נקודות הקצה).

חיבור של וקטורים גאומטריים

חיבור של וקטורים גאומטריים נעשה בעזרת כלל המקבילית או בעזרת כלל המשולש.

הגדרה

יהיו הנקודות $A,B,C,D$ . נסמן את הוקטורים:

${\vec {u}}={\overrightarrow {AB}}$

${\vec {v}}={\overrightarrow {CD}}$

כלל המשולש

מימין:חיבור לפי כלל המשולש; משמאל: לפי כלל המקבילית

כדי לחבר וקטורים גאומטריים על-פי כלל המשולש יש לעשות את הפעולות הבאות:

נזיז את הוקטור ${\overrightarrow {CD}}$ (מבלי לשנות את גודלו או כיוונו) כך שתחילתו, שהיתה קודם הנקודה $C$ , תהיה ממוקמת בסופו של הוקטור ${\overrightarrow {AB}}$ (כלומר, בנקודה $B$).

נסמן את נקודת הסוף החדשה של הוקטור ${\vec {v}}$ כ-$E$ . כעת נגדיר את החיבור של הוקטורים ${\vec {u}},{\vec {v}}$ להיות:

${\vec {u}}+{\vec {v}}={\overrightarrow {AE}}$

כלומר, וקטור החיבור הוא הצלע השלישית במשולש שנוצר לנו על-ידי הזזה של הוקטור $CD$ לסופו של הוקטור $AB$ .

כלל המקבילית

כדי לחבר וקטורים גאומטריים על-פי כלל המקבילית יש לעשות את הפעולות הבאות:

נזיז את הוקטור ${\vec {v}}$ (שוב, מבלי לשנות את גודלו ואת כיוונו) כך שתחילתו תהיה בנקודת ההתחלה של הוקטור ${\overrightarrow {AB}}$ (כלומר, הנקודה $A$).

כעת קיבלנו שתי צלעות של מקבילית. נשלים את שתי הצלעות האחרות של המקבילית, ונגדיר את וקטור החיבור של הוקטורים ${\vec {u}},{\vec {v}}$ להיות הוקטור שמוצאו $A$ , וסופו בקדקוד שמולו במקבילית שיצרנו.

במבט ראשון כלל המקבילית וכלל המשולש נראים דרכים שונות לחבר, אבל ניתן לשים לב שאחד החלקים של המקבילית שנוצרה היא בדיוק המשולש מכלל המשולש, ולכן לא משנה באיזה כלל משתמשים כדי לחבר וקטורים, התוצאות מחיבור בכל אחד מהכללים זהות!

נוכל להכליל בעזרת משפט הקוסינוסים חיבור וקטורים היוצאים מאותה נקודה ${\rm {{\vec {a}}+{\vec {b}}}}={\sqrt {a^{2}+b^{2}-2ab\cos(180-a,b)}}={\sqrt {a^{2}+b^{2}+2ab\cos(a,b)}}$

וקטורים נגדיים

הוקטור האדום הוא הנגדי של הוקטור הכחול, שימו לב לכיוונו המנוגד ל-a ולאורכו השווה לו.

כאשר הסכום של שני וקטורים גאומטריים נותן את ווקטור האפס, אומרים שהוקטורים נגדיים. קל לראות שלכל וקטור יש נגדי ייחודי ושבאופן כללי מתקיים

${\overrightarrow {AB}}+{\overrightarrow {BA}}={\overrightarrow {AA}}={\vec {0}}$

את הוקטור הנגדי של ${\vec {a}}$ מסמנים $-{\vec {a}}$ .

סימון

אנחנו מסמנים חיבור של שני וקטורים באותו אופן שבו אנחנו מסמנים חיבור של שני מספרים רגילים, אך אין להתבלבל ביניהם! אלו הם סוגים שונים של חיבור ולא ניתן לחבר וקטור עם מספר ממשי רגיל!

חיסור של שני וקטורים גאומטריים

אחרי שדיברנו על וקטורים נגדיים ועל חיבור, הגיע הזמן להגדיר גם חיסור של שני וקטורים גאומטריים.

נגדיר את החיסור של שני וקטורים גאומטריים כחיבור של וקטור עם וקטור נגדי. כלומר אם ${\vec {u}},{\vec {v}}$ הם שני וקטורים, אז:

${\vec {u}}-{\vec {v}}={\vec {u}}+(-{\vec {v}})$

כפל של וקטור גאומטרי בסקלר

דוגמא למכפלה של הוקטור ${\vec {a}}$ בסקלרים 1- (משמאל) 2 (מימין)

באופן אינטואיטיבי ניתן לחשוב על כפל בסקלר כעל "מתיחה" או "כיווץ" של הוקטור מבלי לשנות את כיוונו (יש לשים לב! מכפלה במספר שלילי "הופכת" את הכיוון של הוקטור, אבל הוא עדיין נותר על אותו הישר שבו הוא היה לפני כן. כלומר, אם מדמיינים את הוקטור כחץ במרחב או במישור, מכפלה של הוקטור במספר שלילי משנה ב-180 מעלות את כיוון החץ).

מהו סקלר?

כאשר מדברים על וקטורים במישור או במרחב, סקלר הוא בעצם כל מספר ממשי. כאשר אנחנו מדברים על כפל בסקלר, אנחנו מתכוונים לכפל של וקטור במספר ממשי רגיל.

הגדרה

המשמעות של כפל בסקלר: הוקטור הכחול ${\vec {a}}$ מוכפל ב-3, הווקטור הנוצר הוא הוקטור האדום.

כפי שצוין קודם, המשמעות הגאומטרית של כפל בסקלר היא שינוי אורכו של הוקטור.

כך לדוגמא, כפל של הוקטור ${\overrightarrow {AB}}$ בסקלר 3, ייצור וקטור חדש שכיוונו הוא בכיוון הוקטור $AB$ , שמוצאו $A$ ושאורכו גדול פי 3 מאורכו של הוקטור ${\overrightarrow {AB}}$ .

סימון

כדי לסמן מכפלה של מספר ממשי כלשהו $r$ בוקטור ${\overrightarrow {AB}}$ , רושמים:

$r\cdot {\overrightarrow {AB}}$

כאשר נהוג לרשום את הסקלר (המספר הממשי) משמאל לוקטור.

לעתים משמיטים את נקודת הכפל ופשוט רושמים:

$r{\overrightarrow {AB}}$

הסימון זהה גם כאשר מסמנים באותיות לטיניות קטנות עם קו תחתי.

שימו לב: *כפל בסקלר הוא לא מכפלה סקלרית. על מכפלה סקלרית נדבר בפרקים הבאים, אין להתבלבל בין שני סוגי הכפל השונים האלו! כפל בסקלר הוא מכפלה של מספר ממשי וקטור, לא של שני וקטורים. על מכפלות של שני וקטורים נלמד בהמשך. יש אנשים המגדירים כפל של וקטור בסקלר רק אם הסקלר משמאל לוקטור. לכן, לא מומלץ לקחת את הסיכון ולרשום בצורה שכזו בבגרות, במיוחד כשיש אפשרות שהבוחן או המורה שלכם לא יבין למה אתם מתכוונים.