מתמטיקה תיכונית/גיאומטריה אוקלידית/אקסיומות

מתוך ויקיספר, אוסף הספרים והמדריכים החופשי
קפיצה לניווט קפיצה לחיפוש

אקסיומות כלליות[עריכה]

סכום גדלים שווים[עריכה]

  אם מחברים גדלים שווים לגדלים שווים אז הסכומים שווים
  בשפה מתמטית: אם a=b וגם c=d אז  a+c=b+d

דוגמאות[עריכה]

הפרש גדלים שווים[עריכה]

  אם מחסרים גדלים שווים מגדלים שווים אז ההפרשים שווים.
  בשפה מתמטית: אם a = b וגם c = d, אז  a - c = b - d.

דוגמאות[עריכה]

דוגמה 1: חיסור קטעים שונים

נתונים קטעים בגודל שווה המורכבים משני קטעים כל אחד:

AC = AB + BC

DF = DE + EF

נתון ששני הקטעים המורכבים הם בגודל שווה (AC = DF). אם נתון שגם אחד הקטעים המרכיבים את הקטעים הגדולים שווים (למשל BC = EF), נוכל לחסר קטע זה ולהישאר עם קטעים בגודל שווה:

הוכחה:

AB = AC - BC

DE = DF - EF

AC = DF (נתון) -- הקטעים המקוריים

BC = EF (נתון) -- הקטעים אותם חיסרנו

AB = DE (הפרש גדלים שווים) -- הקטעים שנותרו.

דוגמה 2: חיסור קטעים על ישר אחד

נתונים שלושה קטעים מחוברים על ישר אחד AB + BC + CD.

אורך שני הקטעים הימניים (BD = BC + CD) שווה לגודל שני הקטעים השמאליים (AC = AB + BC).

כאשר מורידים (מחסרים) את הקטע האמצעי (BC) מהקטעים השווים מקבלים שני גדלים חדשים, שאף הם שווים:

AB = AC - BC = BD - BD = CD


דוגמה 3: חיסור זוויות

אם שני גדלים שווים לגודל שלישי אז הגדלים שווים ביניהם (טרנזיטיביות)[עריכה]

אקסיומות נקודות וישרים[עריכה]

  • יש לפחות שתי נקודות שונות זו מזו.
  • לכל שתי נקודות שונות זו מזו יש ישר אחד ויחיד ששתי נקודות אלה נמצאות עליו.
  • כל ישר מכיל לפחות נקודה אחת.
  • מחוץ לכל ישר יש לפחות נקודה אחת.
  • לכל שלוש נקודות שאינן על ישר אחד יש מישור אחד ויחיד המכיל אותן.
  • כל מישור מכיל לפחות נקודה אחת.
  • מחוץ לכל מישור יש לפחות נקודה אחת.
  • אם לשני מישורים יש נקודה משותפת, יש להם לפחות עוד נקודה משותפת.
  • אם לישר ולמישור שתי נקודות משותפות שונות זו מזו, הישר נמצא במישור.