מתמטיקה תיכונית/גיאומטריה אוקלידית/אקסיומות
אקסיומות כלליות
[עריכה]סכום גדלים שווים
[עריכה]אם מחברים גדלים שווים לגדלים שווים אז הסכומים שווים בשפה מתמטית: אם a=b וגם c=d אז a+c=b+d
דוגמאות
[עריכה]הפרש גדלים שווים
[עריכה]אם מחסרים גדלים שווים מגדלים שווים אז ההפרשים שווים. בשפה מתמטית: אם a = b וגם c = d, אז a - c = b - d.
דוגמאות
[עריכה]דוגמה 1: חיסור קטעים שונים
נתונים קטעים בגודל שווה המורכבים משני קטעים כל אחד:
AC = AB + BC
DF = DE + EF
נתון ששני הקטעים המורכבים הם בגודל שווה (AC = DF). אם נתון שגם אחד הקטעים המרכיבים את הקטעים הגדולים שווים (למשל BC = EF), נוכל לחסר קטע זה ולהישאר עם קטעים בגודל שווה:
הוכחה:
AB = AC - BC
DE = DF - EF
AC = DF (נתון) -- הקטעים המקוריים
BC = EF (נתון) -- הקטעים אותם חיסרנו
AB = DE (הפרש גדלים שווים) -- הקטעים שנותרו.
דוגמה 2: חיסור קטעים על ישר אחד
נתונים שלושה קטעים מחוברים על ישר אחד AB + BC + CD.
אורך שני הקטעים הימניים (BD = BC + CD) שווה לגודל שני הקטעים השמאליים (AC = AB + BC).
כאשר מורידים (מחסרים) את הקטע האמצעי (BC) מהקטעים השווים מקבלים שני גדלים חדשים, שאף הם שווים:
AB = AC - BC = BD - BD = CD
דוגמה 3: חיסור זוויות
אם שני גדלים שווים לגודל שלישי אז הגדלים שווים ביניהם (טרנזיטיביות)
[עריכה]אקסיומות נקודות וישרים
[עריכה]- יש לפחות שתי נקודות שונות זו מזו.
- לכל שתי נקודות שונות זו מזו יש ישר אחד ויחיד ששתי נקודות אלה נמצאות עליו.
- כל ישר מכיל לפחות נקודה אחת.
- מחוץ לכל ישר יש לפחות נקודה אחת.
- לכל שלוש נקודות שאינן על ישר אחד יש מישור אחד ויחיד המכיל אותן.
- כל מישור מכיל לפחות נקודה אחת.
- מחוץ לכל מישור יש לפחות נקודה אחת.
- אם לשני מישורים יש נקודה משותפת, יש להם לפחות עוד נקודה משותפת.
- אם לישר ולמישור שתי נקודות משותפות שונות זו מזו, הישר נמצא במישור.