מתמטיקה תיכונית/אלגברה תיכונית/קומבינטוריקה/תמורות/תמורות במעגלים

ההבדל בין תמורות על ישר למעגל

עד כה דנו בתמורות של איברים הנמצאים בשורה. עתה נדון על תמורות במעגלים.

כאשר יש לו 3 איברים שונים ניתן לסדר אותן בשורה $3!=1*2*3=6$ אפשרויות.

במעגל קיימות לנו רק שתי אפשרויות:

• 
• 

למשל, אם יש לנו שלושה ילדים: אבי, בני וגליה, ואנו רוצים לסדר את שלושתם במעגל, יש לנו בדיוק שתי אפשרויות לעשות זאת: או שבני יהיה משמאל לאבי וגליה מימינו, או שבני יהיה מימין לאבי וגליה משמאלו. אם היינו רוצים לסדר את שלושת הילדים בטור, היו לנו שש אפשרויות, ואילו לסידור במעגל יש לנו שתי אפשרויות בלבד.

תמורות במעגל

הגדרה 1: תמורה על $n$ איברים במעגל היא $P_{n-1}=(n-1)!$

הוכחה

נוכיח נוסחה זו באמצעות שימוש בנוסחה המוכרת לנו לתמורות. לשם כך ננסה להבין את מהות הקשר שבין סידור בשורה וסידור במעגל. למשל, אם נסתכל על שלושת הסידורים הבאים בשורה כסידור במעגל, הם יהיו זהים זה לזה:

• אבג, בגא, גאב.

הסיבה לכך ששלושת הסידורים זהים היא שכאשר אנו מסדרים במעגל, אנו "מדביקים" את סוף השורה לתחילתה, כך שאין חשיבות לשאלה מי ראשון ומי אחרון, אלא רק מי בא אחרי מי.

נשים לב שמבין הסידורים הזהים, קיים אחד בלבד שבו א' במקום הראשון, אחד שבו א' במקום השני וכן הלאה. ניתן לחשוב על א' כעל "נקודת ייחוס" בשורה שממנה אנו מתחילים לסדר את שאר האיברים, ואם הגענו לסוף השורה אנו חוזרים לתחילתה וממשיכים לסדר איברים עד שאנו מגיעים שוב אל א'.

באופן כללי יש לנו $\ n!$ סידורים בשורה. מתוכם אנו סופרים $\ n$ פעמים כל סידור חוקי במעגל, פעם אחת לכל מקום בשורה שבו א' יכול להיות. לכן מספר הסידורים הכולל האפשרי הוא $\ {\frac {n!}{n}}=(n-1)!$. נכונות השבר הזה נובעת מהעובדה שציינו כשהצגנו את פונקציית העצרת, כי מתקיים $\ n(n-1)!=n!$ (תכונה זו ניתן להוכיח בקלות באינדוקציה).

ניתן גם לראות את ההוכחה בדרך שונה במקצת. מכיוון שא' משמש בתור נקודת ייחוס אין זה משנה היכן במעגל נשים אותו. לאחר ששמנו אותו והוא משמש לנו כנקודת ייחוס ניתן לחשוב עליו כעל האיבר הראשון בשורה, שיש לסדר בה את יתר האיברים. מכיוון שנותרו $\ n-1$ איברים יש $\ (n-1)!$ אפשרויות לסדרם.

דוגמות

פרק זה לוקה בחסר. אתם מוזמנים לתרום לוויקיספר ולהשלים אותו. ראו פירוט בדף השיחה.